Aproximació lineal

Recta tangent a (a, f(a))

En matemàtiques, una aproximació lineal és una aproximació d'una funció qualsevol fent servir una funció lineal (de forma més precisa una funció afí).

Definició

Donada una funció derivable f d'una variable real, el teorema de Taylor per a n=1 estableix que

f ( x ) = f ( a ) + f   ′ ( a ) ( x − a ) + R 2 {\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}}

on el terme R 2 {\displaystyle R_{2}} és el residu o error. L'aproximació lineal s'obté depreciant el residu:

f ( x ) ≈ f ( a ) + f   ′ ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}

Lo qual és cert per a valors de x propers a a. L'expressió del cantó dret és precisament l'equació de la recta tangent a la gràfica de f al punt (a, f(a)), i per aquest motiu, d'aquest procés també se'n diu aproximació per la recta tangent.

Les aproximacions lineals per a funcions vectorials de variable vectorial, s'obtenen de la mateixa forma, substituint la derivada en un punt per la matriu jacobiana. Per exemple, donada una funció derivable f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} amb variables reals, es pot aproximar f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} per ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} en punts proper a ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} fent servir la fórmula

f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ∂ x ( a , b ) ( x − a ) + ∂ f ∂ y ( a , b ) ( y − b ) . {\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}

L'expressió de la dreta és l'equació del pla tangent a la gràfica de z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} al punt ( a , b ) . {\displaystyle (a,b).}

En el cas més general d'espais de Banach, es té

f ( x ) ≈ f ( a ) + D f ( a ) ( x − a ) {\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}

on D f ( a ) {\displaystyle Df(a)} és la derivada de Fréchet de f {\displaystyle f} a a {\displaystyle a} .

Exemples

Per a trobar una aproximació de 25 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}} es pot fer tal com s'explica tot seguit.

  1. Es planteja la funció f ( x ) = x 1 / 3 . {\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,} Per tant, el problema consisteix a trobar el valor de f ( 25 ) {\displaystyle f(25)} .
  2. Es té
    f   ′ ( x ) = 1 / 3 x − 2 / 3 . {\displaystyle f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.}
  3. D'acord amb l'aproximació lineal
    f ( 25 ) ≈ f ( 27 ) + f   ′ ( 27 ) ( 25 − 27 ) = 3 − 2 / 27. {\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}
  4. El resultat, 2,926, és força proper al valor de la funció 2,924…

Referències

  • Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E.. Calculus III. Berlin: Springer-Verlag, 1984, page 775. ISBN 0-387-90985-0. 
  • Strang, Gilbert. Calculus. Wellesley College, 1991, page 94. ISBN 0-9614088-2-0. 
  • Bock, David; Hockett, Shirley O.. How to Prepare for the AP Calculus. Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005, page 118. ISBN 0-7641-2382-3.