Equació diofàntica

Una equació diofàntica és una equació per a la qual només es permeten solucions enteres. El seu nom fa referència al matemàtic grec Diofant d'Alexandria, un dels primers a estudiar aquest tipus de problemes.

A més del problema de trobar les solucions d'una equació diofàntica particular, no és evident la mateixa existència de les solucions. Existeix un algorisme general per a trobar les solucions d'una equació diofàntica de primer ordre, però no per a ordres superiors. Aquest problema general ha estat sense obtenir una resposta definitiva durant molts segles i David Hilbert l'inclogué com un dels seus famosos 23 problemes. El 1970, Yuri Matiyasevich demostrà finalment que és impossible obtenir una solució general per a una equació diofàntica d'ordre qualsevol.

Equació diofàntica de primer ordre

És una equació de la forma ${\displaystyle \,ax+by=c}$, i només té solució si ${\displaystyle \,\mathrm {m.c.d.} (a,b)|c}$ (és a dir, si el màxim comú divisor de ${\displaystyle \,a}$ i ${\displaystyle \,b}$ també divideix ${\displaystyle \,c}$).

Resolució general

Les solucions d'aquesta equació són:

${\displaystyle x=rc^{\prime }-tb^{\prime }}$

${\displaystyle y=sc^{\prime }+ta^{\prime }}$

en què ${\displaystyle a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime }}$ representen ${\displaystyle \,a/d,b/d,c/d}$ i és ${\displaystyle \,d=\mathrm {m.c.d.} (a,b)}$. ${\displaystyle \,r}$ i ${\displaystyle \,s}$ són les solucions enteres de l'equació ${\displaystyle \,1=a'r+b's}$.

Demostració

Tenim una equació diofàntica ${\displaystyle \,ax+by=c}$, on ${\displaystyle \,d=\mathrm {m.c.d.} (a,b)}$. Dividint l'equació inicial per ${\displaystyle \,d}$, obtenim

${\displaystyle a'x+b'y=c',\quad \mathrm {m.c.d.} (a',b')=1}$

Per la identitat de Bézout, tenim que ${\displaystyle \,a'r+b's=1}$. Multiplicant per ${\displaystyle \,c'}$

${\displaystyle a'rc'+b'sc'=c'\,}$

On evidentment ${\displaystyle \,x=rc',\;y=sc'}$. Restant les dues expressions, obtenim

${\displaystyle \,a'(x-rc')+b'(y-sc')=0}$

Per tant, ${\displaystyle \,a'|y-sc'}$ i ${\displaystyle \,b'|x-rc'}$. És a dir, existeixen ${\displaystyle \,t}$ i ${\displaystyle \,u}$ que compleixen:

${\displaystyle \,y=sc'+ta'}$

${\displaystyle \,x=rc'+ub'}$

Substituint a l'equació inicial: ${\displaystyle \,c'=a'rc'+a'ub'+b'sc'+bta'=c'+a'b'(u+t)\,}$

Per tant, ${\displaystyle \,u+t=0}$. D'on obtenim la solució general exposada anteriorment.

Exemple

A continuació, resoldrem l'equació ${\displaystyle \,27x+51y=111}$. En primer lloc, s'ha de comprovar que té solució: donat que el màxim comú divisor de 27 i 51 és 3, i 3 divideix 111, podem afirmar que sí que en té. Ara, resolent la identitat de Bézout ${\displaystyle \,{\frac {27}{3}}r+{\frac {51}{3}}s=1}$, d'on trobem una solució immediata que és ${\displaystyle r=2,\;s=-1}$. Per tant, la solució general serà:

${\displaystyle x=2\cdot 37-17t}$

${\displaystyle y=-1\cdot 37+9t}$

Alguns exemples

• ax + by = c: s'anomena identitat de Bézout. Aquestes equacions es poden resoldre completament i la primera solució coneguda es deu al matemàtic indi Brahmagupta.
• xⁿ + yⁿ = zⁿ: per a n = 2 hi ha infinites solucions (x,y,z), les tripletes pitagòriques. Per a valors superiors de n, l'últim teorema de Fermat n'assegura la inexistència de solucions.
• x² − n y² = 1: anomenada equació de Pell. Si n no és un quadrat perfecte, té infinites solucions que són una bona aproximació racional a l'arrel quadrada de n.
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}y^{n-i}}=c}$, on ${\displaystyle n\geq 3}$ i ${\displaystyle c\neq 0}$: s'anomenen equacions de Thue i, en general, tenen solució.

Referències

Castellet, Manuel; Llerena, Irene. «1». A: Àlgebra Lineal i Geometria. 4a ed.. ISBN 84-7488-943-X. 

Vegeu també

• Aryabhata II