Espai de Sierpinski

En matemàtiques, el espai de Sierpiński (o el conjunt de dos punts connectats) és un espai topològic finit format per dos punts, dels quals només un és tancat. És l'exemple més menut d'espai topològic que no sigui el trivial ni el discret. El seu nom és en honor de Wacław Sierpiński.

Definició

L'espai de Sierpiński és el conjunt ${\displaystyle S=\{0,1\}}$ amb la topologia ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{S}}$ següent:

${\displaystyle {\mathcal {T}}_{S}=\{\emptyset ,\{1\},S\}}$

Propietats

Propietats bàsiques de l'espai de Sierpinski:^[1]

• Els únics conjunts oberts són ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{1\}}$ i ${\displaystyle S}$.
• Els únics conjunts tancats són ${\displaystyle \emptyset }$, ${\displaystyle \{0\}}$ i ${\displaystyle S}$.
• La clausura de ${\displaystyle \{0\}}$ és ${\displaystyle \{0\}}$ i la de ${\displaystyle \{1\}}$ és ${\displaystyle S}$.
• És un espai de Kolmogórov (${\displaystyle T_{0}}$).
• No és un espai de Fréchet (${\displaystyle T_{1}}$).
• No és un espai de Hausdorff (${\displaystyle T_{2}}$).
• No és un espai ${\displaystyle T_{n}}$ per a ${\displaystyle n>1}$.
• És un espai compacte.
• És 1AN i 2AN.
• Tota successió en ${\displaystyle S}$ convergeix a 0.
• Si una successió en ${\displaystyle S}$ convergeix a 1, llavors té un nombre finit de termes iguals a 0.
• És un espai no metritzable.

Vegeu també

• Espai topològic
• Espai metritzable
• Espai compacte
• Espai de Hausdorff

Referències

Bibliografia

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr.. Counterexamples in Topology. Dover reprint of 1978. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1995. ISBN 978-0-486-68735-3.