U-forma canònica

En matemàtiques, la u-forma canònica és una 1-forma especial definida sobre el fibrat cotangent T* Q d'una varietat Q. També s'anomena u-forma tautològica, u-forma de Liouville, u-forma de Poincaré o potencial simplèctic. La derivada exterior d'aquesta forma defineix una forma simplèctica, amb la qual cosa T* Q incorpora l'estructura d'una varietat simplèctica. La u-forma canònica juga un rol important en la relació entre el formalisme de la mecànica hamiltoniana i la mecànica lagrangiana. Un objecte similar és l'espai vectorial canònic sobre el fibrat tangent. En geometria algebraica i geometria complexa, el terme "canònic" pot crear confusió amb la classe canònica, i s'acostuma a emprar el terme "tautològic".

En coordenades canòniques, la u-forma canònica ve donada per

θ = ∑ i p i d q i {\displaystyle \theta =\sum _{i}p_{i}dq^{i}}

Equivalentment, unes coordenades qualssevol sobre l'espai de fases que preservi aquesta estructura per a la u-forma canònica, fins a un diferencial total (forma exacta), poden anomenar-se coordenades canòniques; les transformacions entre sistemes de coordenades canòniques diferents s'anomenen transformacions canòniques.

La forma simplèctica canònica, també coneguda com a dos-forma de Poincaré, ve donada per

ω = − d θ = ∑ i d q i ∧ d p i {\displaystyle \omega =-d\theta =\sum _{i}dq^{i}\wedge dp_{i}}

Definició independent de les coordenades

També es pot definir la u-forma canònica, de manera més abstracta, com una forma sobre l'espai de fases. Sigui Q {\displaystyle Q} una varietat, i sigui M = T ∗ Q {\displaystyle M=T^{*}Q} el fibrat cotangent o espai de fases. Sigui

π : M → Q {\displaystyle \pi :M\to Q}

la projecció canònica sobre el fibrat, i sigui

T π : T M → T Q {\displaystyle T_{\pi }:TM\to TQ}

l'aplicació tangent induïda. Sigui m un punt de M. Com que M és el fibrat cotangent, podem pensar que m és una aplicació de l'espai tangent a q = π ( m ) {\displaystyle q=\pi (m)} :

m : T q Q → R {\displaystyle m:T_{q}Q\to \mathbb {R} } .

És a dir, tenim que m està a la fibra de q. La u-forma canònica θ m {\displaystyle \theta _{m}} en el punt m es defineix com

θ m = m ∘ T π {\displaystyle \theta _{m}=m\circ T_{\pi }} .

És una aplicació lineal

θ m : T m M → R {\displaystyle \theta _{m}:T_{m}M\to \mathbb {R} }

i per tant

θ : M → T ∗ M {\displaystyle \theta :M\to T^{*}M} .

Propietats

La u-forma canònica és l'única forma horitzontal[nota 1] que "cancel·la" un pullback. És a dir, sigui

β : Q → T ∗ Q {\displaystyle \beta :Q\to T^{*}Q}

una 1-forma qualsevol sobre Q, i sigui β ∗ {\displaystyle \beta ^{*}} el seu pullback. Aleshores

β ∗ θ = β {\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta } ,

o, en termes de coordenades:

β ∗ θ = β ∗ ( ∑ i p i d q i ) = ∑ i β ∗ p i d q i = ∑ i β i d q i = β . {\displaystyle \beta ^{*}\theta =\beta ^{*}(\sum _{i}p_{i}\,dq^{i})=\sum _{i}\beta ^{*}p_{i}\,dq^{i}=\sum _{i}\beta _{i}\,dq^{i}=\beta .}

Per tant, com que el pullback i la derivada exterior són commutatius,

β ∗ ω = − β ∗ d θ = − d ( β ∗ θ ) = − d β {\displaystyle \beta ^{*}\omega =-\beta ^{*}d\theta =-d(\beta ^{*}\theta )=-d\beta } .

Acció

Si H és un hamiltonià sobre el fibrat cotangent i X H {\displaystyle X_{H}} és el seu flux hamiltonià, llavors la corresponent acció A ve donada per

S = θ ( X H ) {\displaystyle S=\theta (X_{H})} .

En altres paraules, el flux hamiltonià representa la trajectòria clàssica d'un sistema mecànic que obeeix les equacions de moviment de Hamilton-Jacobi. El flux hamiltonià és la integral del camp vectorial de Hamilton, i per tant hom escriu, emprant la notació tradicional per a variables acció-angle:

S ( E ) = ∑ i ∮ p i d q i {\displaystyle S(E)=\sum _{i}\oint p_{i}\,dq^{i}}

on s'entén que la integral es pren sobre la varietat definida pel fet de deixar constant l'energia: H = E = constant {\displaystyle H=E={\text{constant}}} .

Espais mètrics

Si una varietat Q té una mètrica riemanniana o pseudo-riemanniana g, llavors es poden reformular les definicions en termes de coordenades generalitzades. Més específicament, si prenem la mètrica com una aplicació

g : T Q → T ∗ Q {\displaystyle g:TQ\to T^{*}Q} ,

llavors definim

Θ = g ∗ θ {\displaystyle \Theta =g^{*}\theta }

i

Ω = − d Θ = g ∗ ω {\displaystyle \Omega =-d\Theta =g^{*}\omega } .

En coordenades generalitzades ( q 1 , … , q n , q ˙ 1 , … , q ˙ n ) {\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n},{\dot {q}}^{1},\ldots ,{\dot {q}}^{n})} sobre TQ, es té

Θ = ∑ i j g i j q ˙ i d q j {\displaystyle \Theta =\sum _{ij}g_{ij}{\dot {q}}^{i}dq^{j}}

i

Ω = ∑ i j g i j d q i ∧ d q ˙ j + ∑ i j k ∂ g i j ∂ q k q ˙ i d q j ∧ d q k {\displaystyle \Omega =\sum _{ij}g_{ij}\;dq^{i}\wedge d{\dot {q}}^{j}+\sum _{ijk}{\frac {\partial g_{ij}}{\partial q^{k}}}\;{\dot {q}}^{i}\,dq^{j}\wedge dq^{k}}

La mètrica permet definir una esfera de radi unitat a T ∗ Q {\displaystyle T^{*}Q} . La u-forma canònica restringida a aquesta esfera forma una estructura de contacte; aquesta estructura de contacte es pot fer servir per generar el flux geodèsic per a aquesta mètrica.

Notes

  1. ↑ Una r-forma diferencial α {\displaystyle \alpha } sobre un fibrat E es diu que és una forma horitzontal si α ( v 1 , . . . , v r ) = 0 {\displaystyle \alpha (v_{1},...,v_{r})=0} quan almenys un dels vectors v 1 , v r {\displaystyle v_{1},v_{r}} és vertical.

Bibliografia

  • Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. «secció 3.2». A: Foundations of Mechanics (en anglès). Londres: Benjamin-Cummings, 1978. ISBN 0-8053-0102-X. 

Vegeu també

  • Classe fonamental