Nerovnosti mezi průměry

Nerovnosti mezi průměry v matematice vyjadřují nejčastěji vztah mezi kvadratickým, aritmetickým, geometrickým a harmonickým průměrem nějaké skupiny čísel.

Existuje nekonečně mnoho průměrů, ze známějších např. zobecněný mocninný (např. odmocninový, kubický), Heronův, aritmeticko-geometrický, logaritmický, harmonicko-kvadratický, kontraharmonický – které lze do nerovností zapsat. Jejich běžné užití je však (kromě Heronova průměru) spíše sporadické.

Vzorec

Označíme-li kvadratický průměr daných kladných čísel jako ${\displaystyle K}$, aritmetický průměr ${\displaystyle A}$, geometrický průměr ${\displaystyle G}$ a harmonický průměr ${\displaystyle H}$, pak platí:

${\displaystyle K\geq A\geq G\geq H}$

Rovnost navíc nastává právě tehdy, když jsou všechna průměrovaná čísla stejná.

Například pro čísla 1 a 9 je

${\displaystyle K={\sqrt {\frac {1^{2}+9^{2}}{2}}}{\dot {=}}6,4\geq A=5\geq G={\sqrt {9}}=3\geq H={\frac {1}{\frac {1+1/9}{2}}}=1,8}$

Nejdůležitější z těchto nerovností je nerovnost aritmetického a geometrického průměru, nazývaná též AG nerovnost.

Související články

• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Kvadratický průměr
• Aritmetický průměr
• Geometrický průměr
• Harmonický průměr

Externí odkazy

• Nerovnosti na stránkách matematického korespondenčního semináře MFF UK