Nutná a postačující podmínka

V logice mohou mezi dvěma souvisejícími tvrzeními (větami, výroky) existovat vztahy, pro které se používají zažitá označení nutná, resp. postačující podmínka.

Tvrzení $A$ je nutnou podmínkou pro jiné tvrzení $B$ , pokud $B$ nemůže platit, aniž by platilo $A$ . Jinak řečeno, $B$ platí jen tehdy, pokud platí $A$ . Věta „X je čtyřúhelník“ je nutná podmínka pro to, aby mohlo platit, že „X je čtverec“. Pokud X není čtyřúhelník, nemůže to být čtverec. (Není to však podmínka postačující, protože například lichoběžník je čtyřúhelník, ale není čtverec.) Říkáme, že $B$ implikuje $A$ a zapisujeme jako $B\Rightarrow A$ , případně $A\Leftarrow B$ .
Tvrzení $A$ je postačující podmínkou pro jiné tvrzení $B$ , pokud $B$ platí vždy, když platí $A$ . Jinak řečeno, $B$ platí tehdy, když platí $A$ . Věta „X je čtverec“ je postačující podmínka k tomu, aby platilo, že „X je čtyřúhelník“. (Není to však podmínka nutná: kosočtverec není čtverec, a přesto je čtyřúhelník.) Říkáme, že $A$ implikuje $B$ a zapisujeme jako $A\Rightarrow B$ .
Tvrzení $A$ je nutnou i postačující podmínkou pro tvrzení $B$ , pokud $B$ platí tehdy a jen tehdy (právě tehdy), když platí $A$ . Věta „X je čtverec“ platí tehdy a jen tehdy, pokud platí, že „X je rovnostranný pravoúhlý čtyřúhelník“. Obě tvrzení tedy platí vždy společně a jejich vztah lze obrátit. Říkáme, že $A$ je ekvivalentní $B$ , případně, že $A$ implikuje $B$ a $B$ implikuje $A$ a zapisujeme $A\Leftrightarrow B$ .

Příklady

Nutná podmínka

Nutnou podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, že číslo musí být sudé. V tomto případě je podmínkou, že číslo je sudé (tzn. věta $A$ ). Číslo je dělitelné šesti představuje větu $B$ .

Avšak každé číslo dělitelné šesti je také dělitelné dvěma, tedy je sudé. Tzn. pokud je splněna věta $B$ (číslo je dělitelné šesti), je vždy splněna věta $A$ (číslo je sudé). Věta $A$ (číslo je sudé) je tedy nutnou podmínkou věty $B$ (číslo je dělitelné šesti).

Každé sudé číslo však nemusí být dělitelné číslem šest (např. číslo 4). Pokud je tedy splněna věta $A$ (číslo je sudé), nemusí být splněna věta $B$ (číslo je dělitelné šesti). Věta $A$ tedy není postačující podmínkou věty $B$ .

Postačující podmínka

Postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, může být např. podmínka, že číslo musí být dělitelné dvanácti. Číslo je dělitelné dvanácti představuje větu $A$ , a číslo je dělitelné šesti větu $B$ .

Každé číslo dělitelné dvanácti je také dělitelné šesti, tzn. pokud je splněna věta $A$ (číslo je dělitelné dvanácti), je splněna také věta $B$ (číslo je dělitelné šesti). Věta $A$ je tedy postačující podmínkou věty $B$ .

Je-li však splněna věta $B$ (číslo je dělitelné šesti), nemusí být splněna věta $A$ (číslo je dělitelné dvanácti). Takovými čísly jsou např. 6, 18 atd. Věta $A$ tedy není nutnou podmínkou věty $B$ .

Nutná a postačující podmínka

Nutnou a postačující podmínkou, aby celé číslo bylo dělitelné šesti, je, aby číslo bylo sudé a dělitelné třemi. Podmínkou (větou $A$ ) je zde, že číslo musí být sudé a dělitelné třemi, číslo je dělitelné šesti je věta $B$ .

Je-li číslo dělitelné dvěma i třemi, pak je také dělitelné šesti. Současně platí, že číslo dělitelné šesti je dělitelné dvěma a třemi. Pokud tedy platí věta $A$ (číslo je sudé a dělitelné třemi), musí platit také věta $B$ (číslo je dělitelné šesti).

Věta $A$ je tedy postačující podmínkou věty $B$ . Platí-li však věta $B$ (číslo je dělitelné šesti), pak platí také věta $A$ (číslo je sudé a dělitelné třemi).

Věta $A$ je tedy také nutnou podmínkou věty $B$ . Tzn. věta $A$ je nutnou a postačující podmínkou věty $B$ . Uvedenou podmínku můžeme slovně vyjádřit tak, že číslo je dělitelné šesti tehdy a pouze tehdy, je-li sudé a dělitelné třemi.