Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!} ) je název používaný v matematické analýze pro množinu R ∪ { + ∞ , − ∞ } {\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty ,-\infty \}\,\!} , tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce y = lim x → x 0 f ( x ) {\displaystyle y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\,\!} je potřeba ošetřit celkem devět možností: x 0 {\displaystyle x_{0}\,\!} i y {\displaystyle y\,\!} může být reálné číslo, − ∞ {\displaystyle -\infty \,\!} nebo + ∞ {\displaystyle +\infty \,\!} ; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace a uspořádání

Aritmetické operace

Sčítání a odčítání

Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např. ∞ + ( − 4 ) = ∞ − 4 {\displaystyle \infty +(-4)=\infty -4} .

  • ∀ x ∈ R ∗ ∖ { − ∞ } : ( ∞ + x ) = ( x + ∞ ) = ∞ {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{-\infty \}:(\infty +x)=(x+\infty )=\infty }
  • ∀ x ∈ R ∗ ∖ { ∞ } : ( − ∞ + x ) = ( x + ( − ∞ ) ) = − ∞ {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{\infty \}:(-\infty +x)=(x+(-\infty ))=-\infty }
  • − ( ∞ ) = − ∞ {\displaystyle -(\infty )=-\infty }
  • − ( − ∞ ) = ∞ {\displaystyle -(-\infty )=\infty }

Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např. − ( 4 ) = − 4 {\displaystyle -(4)=-4} a také − ( − π ) = π {\displaystyle -(-\pi )=\pi } .

Násobení a dělení

  • ∀ x ∈ R ∗ , x > 0 : ( ± ∞ ) ∗ x = x ∗ ( ± ∞ ) = ± ∞ {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},x>0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\pm \infty }
  • ∀ x ∈ R ∗ , x < 0 : ( ± ∞ ) ∗ x = x ∗ ( ± ∞ ) = ∓ ∞ {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},x<0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\mp \infty }
  • ∀ x ∈ R : ( x ± ∞ ) = 0 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0}

I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např. 4 ∗ ( − 8 ) = − 32 {\displaystyle 4*(-8)=-32} nebo ( − 7 ) ∗ ( − 2 ) = 14 {\displaystyle (-7)*(-2)=14} , neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000, 10 10 {\displaystyle 10^{10}} , − 10 1000 {\displaystyle -10^{1000}} atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.

Absolutní hodnota

  • | ± ∞ | = ∞ {\displaystyle |\pm \infty |=\infty }

Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.

Nedefinované aritmetické operace

Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.

  • ∞ + ( − ∞ ) {\displaystyle \infty +(-\infty )}
  • ( − ∞ ) + ∞ {\displaystyle (-\infty )+\infty }
  • ± ∞ ∗ 0 {\displaystyle \pm \infty *0}
  • 0 ∗ ± ∞ {\displaystyle 0*\pm \infty }
  • ( ± ∞ ± ∞ ) {\displaystyle \left({\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\right)}
  • ( x 0 ) , ∀ x ∈ R ∗ {\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right),\forall x\in \mathbb {R} ^{*}}

Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat ( x 0 ) {\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right)} obdobně, jak jsme definovali, že ∀ x ∈ R : ( x ± ∞ ) = 0 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0} . Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla – 0,1 ; 0,0001; – 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém – zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k ∞ {\displaystyle \infty } a − ∞ {\displaystyle -\infty } . A bohužel nelze říci, zdali by výsledek ( x 0 ) {\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right)} měl být spíše jedno, či druhé.

Uspořádání

Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např. 4 > 3 {\displaystyle 4>3} ; e < π {\displaystyle e<\pi } ; ( 3125 625 ) = ( 65 13 ) {\displaystyle \left({\frac {3125}{625}}\right)=\left({\frac {65}{13}}\right)} . Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky + ∞ , − ∞ {\displaystyle +\infty ,-\infty }

  • ∀ x ∈ R : − ∞ < x {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x}
  • ∀ x ∈ R : ∞ > x {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\infty >x}
  • − ∞ < ∞ {\displaystyle -\infty <\infty }

ε {\displaystyle \varepsilon } -okolí

Pojem „ ε − {\displaystyle \varepsilon -\,\!} okolí bodu x {\displaystyle x\,\!} “ je označován U ε ( x ) {\displaystyle U_{\varepsilon }(x)\,\!} a má tuto definici:

Pro každé x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!} a ε ∈ R + {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}\,\!} je

  • U ε ( x ) = ( x − ε , x + ε ) {\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\,\!} pokud x ∈ R {\displaystyle x\in R\,\!}
  • U ε ( x ) = ⟨ − ∞ , − 1 ε ) {\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=\left\langle -\infty ,-{1 \over \varepsilon }\right)\,\!} pokud x = − ∞ {\displaystyle x=-\infty \,\!}
  • U ε ( x ) = ( 1 ε , + ∞ ⟩ {\displaystyle U_{\varepsilon }(x)=\left({1 \over \varepsilon },+\infty \right\rangle \,\!} pokud x = + ∞ {\displaystyle x=+\infty \,\!}

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako P ε ( x ) = U ε ( x ) − { x } {\displaystyle P_{\varepsilon }(x)=U_{\varepsilon }(x)-\{x\}\,\!} .

Okolí vs. ε {\displaystyle \varepsilon } -okolí

Množina A ⊆ R ∗ {\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{*}\,\!} se nazývá okolím bodu x ∈ R ∗ {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{*}\,\!} , pokud obsahuje ε {\displaystyle \varepsilon } -okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie

Na R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} ^{*}\,\!} lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na R ⊊ R ∗ {\displaystyle \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {R} ^{*}\,\!} ) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení d ( x , y ) = | arctan ⁡ ( x ) − arctan ⁡ ( y ) | {\displaystyle d(x,y)=|\operatorname {arctan} (x)-\operatorname {arctan} (y)|\,\!} , pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že arctan ⁡ ( + ∞ ) = π 2 , arctan ⁡ ( − ∞ ) = − π 2 {\displaystyle \operatorname {arctan} (+\infty )={\pi \over 2}\,,\operatorname {arctan} (-\infty )=-{\pi \over 2}\,\!} .

Limita posloupnosti

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti a = lim n → + ∞ a n {\displaystyle a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!} pro konečné i nekonečné a {\displaystyle a} .

Budiž a n {\displaystyle a_{n}\,\!} posloupnost reálných čísel a a ∈ R ∗ {\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{*}\,\!} . Řekneme, že a = lim n → + ∞ a n {\displaystyle a=\lim _{n\to +\infty }a_{n}\,\!} , pokud

( ∀ ϵ ∈ R ∗ ) ( ∃ n 0 ∈ N ) ( ∀ n > n 0 ) a n ∈ U ϵ ( a ) {\displaystyle (\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{*})(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n>n_{0})a_{n}\in U_{\epsilon }(a)\,\!}

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné x 0 {\displaystyle x_{0}} a y {\displaystyle y} :

Je-li f : D f ⊆ R → R {\displaystyle f:D_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} \,\!} funkce, y ∈ R ∗ {\displaystyle y\in R^{*}} a x 0 ∈ R ∗ {\displaystyle x_{0}\in R^{*}} takové, že x 0 {\displaystyle x_{0}} leží v uzávěru D f {\displaystyle D_{f}\,\!} ( definiční obor D f {\displaystyle D_{f}\,\!} sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na R ∗ {\displaystyle R^{*}} – může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

y = lim x → x 0 f ( x ) ⟺ ∀ ϵ ∈ R + ∃ δ ∈ R + : f [ P δ ( x 0 ) ] ⊆ P ϵ ( f ( x 0 ) ) {\displaystyle y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\iff \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+}:f[P_{\delta }(x_{0})]\subseteq P_{\epsilon }(f(x_{0}))\,\!}

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí U 1 {\displaystyle U_{1}} bodu y {\displaystyle y} existuje prstencové okolí P 2 {\displaystyle P_{2}} bodu x 0 {\displaystyle x_{0}} takové, že obraz P 2 {\displaystyle P_{2}} leží v U 1 {\displaystyle U_{1}} (tj. f [ P 2 ] ⊆ U 1 {\displaystyle f[P_{2}]\subseteq U_{1}\,\!} ).

Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby U ϵ ( x ) ⊆ U 1 {\displaystyle U_{\epsilon }(x)\subseteq U_{1}\,\!} . Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci δ {\displaystyle \delta } s příslušnou vlastností; poté P 2 {\displaystyle P_{2}} zvolme jako P δ ( x ) {\displaystyle P_{\delta }(x)} . Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme U 1 = U ϵ ( x ) {\displaystyle U_{1}=U_{\epsilon }(x)} a δ {\displaystyle \delta } zvolíme tak, aby P δ ( x ) ⊆ P 2 {\displaystyle P_{\delta }(x)\subseteq P_{2}} .