Sobolevův prostor

Sobolevův prostor je v matematice normovaný vektorový prostor funkcí s normou, která je kombinací Lp-normy funkce a jejích derivací.

Sobolevovy prostory s celočíselnou derivací

Definice

Sobolevův prostor Wk,p(Ω) je množina všech funkcí u ∈ Lp(Ω) tak, že pro každý multi-index α s |α| ≤ k leží slabá parciální derivace D α u {\displaystyle D^{\alpha }u} v Lp(Ω), tj.

W k , p ( Ω ) = { u ∈ L p ( Ω ) : D α u ∈ L p ( Ω ) ∀ | α | ≤ k } , {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )=\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leq k\},}

kde Ω je otevřena množina v Rn a 1 ≤ p ≤ +∞. Přirozené číslo k se nazývá řád Sobolevova prostoru Wk,p(Ω).

Existuje mnoho možností jak na prostoru Wk,p(Ω) definovat normu, tedy, jak z něj vytvořit Banachův prostor. Následující dvě definice zavádějí dvě různé, ovšem navzájem ekvivalentní normy:

‖ u ‖ W k , p ( Ω ) := { ( ∑ | α | ≤ k ‖ D α u ‖ L p ( Ω ) p ) 1 / p , 1 ≤ p < + ∞ ; ∑ | α | ≤ k ‖ D α u ‖ L ∞ ( Ω ) , p = + ∞ ; {\displaystyle \|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p},&1\leq p<+\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }(\Omega )},&p=+\infty ;\end{cases}}}

a

‖ u ‖ W k , p ( Ω ) ′ := { ∑ | α | ≤ k ‖ D α u ‖ L p ( Ω ) , 1 ≤ p < + ∞ ; ∑ | α | ≤ k ‖ D α u ‖ L ∞ ( Ω ) , p = + ∞ . {\displaystyle \|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )},&1\leq p<+\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{L^{\infty }(\Omega )},&p=+\infty .\end{cases}}}

Pro p < +∞ je Banachův prostor Wk,p(Ω) s takto zavedenými normami dokonce separabilní.

Na prostoru Wk,2(Ω) vybaveném normou ‖ ⋅ ‖ W k , 2 ( Ω ) {\displaystyle \|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}} lze navíc zavést skalární součin, který tuto normu indukuje, čímž se z něj stane Hilbertův prostor. Tento prostor se pak místo Wk,2(Ω) značí Hk(Ω).[1]

Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací

Besselovy potenciální prostory

Pokud 1 < p < ∞, Besselův prostor Hs,p(Rn) je dobře definován pro každé reálné číslo s předpisem

H s , p ( R n ) := { f ∈ L p ( R n ) : F − 1 ( 1 + | ξ | 2 ) s 2 F f ∈ L p ( R ) n } {\displaystyle H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\{f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}(1+|\xi |^{2})^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\in L^{p}(\mathbb {R} )^{n}\}}

s normou

‖ f ‖ H s , p ( R n ) := ‖ F − 1 ( 1 + | ξ | 2 ) s 2 F f ‖ L p ( R n ) {\displaystyle \|f\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\|{\mathcal {F}}^{-1}(1+|\xi |^{2})^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}} .

Besselovy potenciální prostory jsou Banachovými prostory a v speciálním případě p = 2 dokonce Hilbertovými prostory. Pojem Besselova prostoru je zobecnění pojmu Sobolevova prostoru v tom smyslu, že pro přirozené k platí Hk,p(Rn)=Wk,p(Rn) s ekvivalentními normami. Navíc platí řetěz vnoření

H k + 1 , p ( R n ) ↪ H s ′ , p ( R n ) ↪ H s , p ( R n ) ↪ H k , p ( R n ) , k ≤ s ≤ s ′ ≤ k + 1. {\displaystyle H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leq s\leq s'\leq k+1.}

Sobolev-Slobodeckého prostory

Další způsob definovat Sobolevovy prostory s neceločíselnou derivací používá nápad zobecnění Hölderovy spojitostí do Lebesgueových prostorů.[2] Je-li Ω otevřená množina Rn, 1 ≤ p < ∞, θ ∈ (0,1) a f ∈ Lp(Ω), pak Slobodeckého seminorma je definována předpisem

[ f ] θ , p , Ω := ∫ Ω ∫ Ω | f ( x ) − f ( y ) | | x − y | θ p + n d x d y {\displaystyle [f]_{\theta ,p,\Omega }:=\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy} .

Je-li s > 0 neceločíselné, Sobolev-Slobodeckého prostor Ws, p(Ω) je dobře definován předpisem

W s , p ( Ω ) := { f ∈ W ⌊ s ⌋ , p ( Ω ) : sup | α | = ⌊ s ⌋ [ D α f ] θ , p , Ω < ∞ } {\displaystyle W^{s,p}(\Omega ):=\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \}} ,

kde θ = s − ⌊ s ⌋ ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle \theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)} . Je Banachovým prostorem s normou

‖ f ‖ W s , p ( Ω ) := ‖ f ‖ W ⌊ s ⌋ , p ( Ω ) + sup | α | = ⌊ s ⌋ [ D α f ] θ , p , Ω {\displaystyle \|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }} .

I v případě Sobolev-Slobodeckého prostorů platí řetěz vnoření

W k + 1 , p ( Ω ) ↪ W s ′ , p ( Ω ) ↪ W s , p ( Ω ) ↪ W k , p ( Ω ) , k ≤ s ≤ s ′ ≤ k + 1 {\displaystyle W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leq s\leq s'\leq k+1} .

Reference

Literatura

  • ADAMS, Robert A. Sobolev Spaces. Boston, MA: Academic Press, 1975. ISBN 978-0-12-044150-1. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • AUBIN, Thierry. Nonlinear analysis on manifolds. Monge-Ampère equations. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1982. (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences]; sv. 252). ISBN 978-0-387-90704-8. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • BERGH, J.; LÖFSTRÖM. Interpolation Spaces, An Introduction. [s.l.]: Springer-Verlag, 1976. ISBN 9787506260114. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.
  • EVANS, L.C. Partial Differential Equations. [s.l.]: AMS_Chelsea, 1998. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • MAZ'YA, Vladimir. Sobolev spaces. [s.l.]: Springer-Verlag, 1985. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • LUNARDI, Alessandra. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. Basel: Birkhäuser Verlag, 1995. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • NIKODYM, Otto. Sur une classe de fonctions considérée dans l'étude du problème de Dirichlet. Fund. Math.. 1933, s. 129–150. Dostupné online. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • SOBOLEV, S.L. On a theorem of functional analysis. Transl. Amer. Math. Soc.. 1963, s. 39–68. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“.; translation of Mat. Sb. , 4 (1938) pp. 471–497.
  • SOBOLEV, S.L. Some applications of functional analysis in mathematical physics. [s.l.]: Amer. Math. Soc., 1963. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • STEIN, E. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions,. [s.l.]: Princeton Univ. Press, 1970. Dostupné online. ISBN 0-691-08079-8. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • TRIEBEL, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. Heidelberg: Johann Ambrosius Barth, 1995. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
  • ZIEMER, William P. Weakly differentiable functions. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989. (Graduate Texts in Mathematics; sv. 120). ISBN 978-0-387-97017-2. Je zde použita šablona {{Citation}} označená jako k „pouze dočasnému použití“..
Autoritní data Editovat na Wikidatech