In der Mathematik ist das Corona-Theorem ein Satz aus der Funktionentheorie.
Satz
Sei
der Hardy-Raum, also die Banach-Algebra der beschränkten, holomorphen Funktionen
![{\displaystyle f\colon D\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0aa987fddd180b13b032cb4d2d90ef288eb20697)
auf der Kreisscheibe
.
Sei
und seien
, so dass
![{\displaystyle \vert f_{1}(z)\vert +\ldots +\vert f_{n}(z)\vert \geq \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0adfd303f87237ea7a05c2fa0b1c6a0ce69d5d4)
für alle
.
Dann gibt es
, so dass
![{\displaystyle f_{1}(z)g_{1}(z)+\ldots +f_{n}(z)g_{n}(z)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e15562d797478705701d20799e2ac271de3ebf4)
für alle
.
Funktionalanalytische Interpretation
Sei
die Menge der multiplikativen linearen Funktionale auf
und
die Menge der Maximalideale des Hardy-Raums
. Durch
hat man eine Bijektion
.
Jedem
kann man durch
eine Funktion
oder vermittels obiger Bijektion dann eine Funktion
![{\displaystyle {\hat {f}}\colon {\mathcal {M}}\to \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49305806dc76bcb601a10c52e9b1de7ff9370c48)
zuordnen. Als Gelfand-Topologie bezeichnet man die schwächste Topologie auf
, mit der alle
stetig sind. Mit dieser Topologie ist
ein kompakter Hausdorff-Raum.
Man kann
als Unterraum von
auffassen, indem man
das Maximalideal
![{\displaystyle M_{z}=\left\{f\in H^{\infty }\colon f(z)=0\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d0a6fe97cca1093808e63b9e1901463536c2cae)
zuordnet.
Das Corona-Theorem ist dann äquivalent dazu, dass
dicht in
ist.
Geschichte
Das Corona-Theorem in seiner funktionalanalytischen Formulierung wurde 1941 von Shizuo Kakutani vermutet und 1962 von Lennart Carleson bewiesen. Der Name bezieht sich darauf, dass die Corona von
durch
definiert wird und es nach dem Theorem also keine Corona gibt. Einen elementaren Beweis gab 1979 Thomas Wolff unter Benutzung von
-Carleson-Maßen und Littlewood-Paley-Theorie.
Weblinks
- Corona-Theorem (Lexikon der Mathematik, Spektrum der Wissenschaft)
- B. Wick: The Corona Problem