Das Euler-Produkt ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis und insbesondere der Zahlentheorie. Es ist eine Darstellung einer Dirichlet-Reihe mittels eines unendlichen Produktes indiziert über die Menge der Primzahlen. Benannt ist das Euler-Produkt nach Leonhard Euler, der das unendliche Produkt bezüglich der Dirichlet-Reihe der Riemannschen Zeta-Funktion untersuchte.[1]
Definition
Sei
eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und
die entsprechende Dirichlet-Reihe von
. Falls diese Reihe für eine komplexe Zahl
absolut konvergiert, dann gilt
.
Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion
vereinfacht sich dieses Produkt zu
.
Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Euler-Produkte.[2] Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert
der Folge endlicher Produkte
, die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.
Beweis
Es gibt mehrere Beweise für die Gültigkeit des Euler-Produktes.
Zunächst ist klar, dass mit absoluter Konvergenz der Reihe
auch jeder Faktor
absolut konvergiert. Es folgt, dass für jedes
das Partialprodukt
![{\displaystyle F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{Primzahl}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/860c4bae0092a6f28f251bf5fa63d9d5d062694c)
existiert. Damit sieht man sogleich mit der Cauchy-Produktformel und der aufsteigenden Folge der Primzahlen
:
![{\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88aacbcba6df347d2875f23f2ba101cb90b3786)
Im zweiten Schritt wurde die Multiplikativität von
benutzt. Damit folgt
![{\displaystyle F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/166b9eb017750cdff267bbe9ef4be888295c1755)
wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle
summiert wird, deren Primteiler sämtlich
sind. Damit folgt: für jedes
existiert ein
mit
![{\displaystyle |F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5ba9ada458ebd317014b1406d0c75a1c9694d63)
Somit konvergiert die Folge der Partialprodukte
für jedes
im Bereich der absoluten Konvergenz gegen
(sogar gleichmäßig auf kompakten Teilmengen) und der Satz ist gezeigt.
Das Euler-Produkt der Riemannschen Zeta-Funktion
Im Fall
für alle
ist
offenbar vollständig multiplikativ. Es gilt demnach für alle
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c8d3a4dc3ba26f82f64745993da67567068e10)
Die Funktion
ist dabei auch bekannt als Riemannsche Zeta-Funktion.
Herleitung von Euler
Die Idee dieses Herleitungsweges wurde bereits von Euler verwendet. Man nehme eine Teilmenge
und eine Primzahl
, so dass
und
. Ist also
, so folgt ebenfalls
. Dann gilt ganz allgemein für
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M}{\frac {1}{m^{s}}}-\sum _{m\in M}{\frac {1}{(pm)^{s}}}=\sum _{m\in M\setminus pM}{\frac {1}{m^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d00415d879a8c148297a9678a625161d7f3575)
Bezeichnen wir jetzt
als die Folge der Primzahlen in aufsteigender Folge, und
als die Menge der Zahlen, die nicht durch
teilbar sind (z. B.
). Setze zudem
. Dann hat jedes
die obere Eigenschaft mit der nächsten Primzahl
und es gilt
. Also:
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{p_{k+1}^{s}}}\right)\sum _{m\in M_{k}}{\frac {1}{m^{s}}}=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9ebe5ad2006ac2efc63443b160781996e125567)
und damit induktiv
![{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c71346c1476028854ced85caea7b9c6688b3a72)
Bildet man auf beiden Seiten den Limes, ergibt sich
![{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{k}^{s}}}\right)\zeta (s)=\lim _{k\to \infty }\sum _{m\in M_{k+1}}{\frac {1}{m^{s}}}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed0b4d6026a6a9a66bb693311ce2a72cfb02c988)
da die 1 die einzige natürliche Zahl ist, die durch keine Primzahl teilbar ist.
Weblinks
- Eric W. Weisstein: Euler Product. In: MathWorld (englisch).
- S.A. Stepanov: Euler product. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id
Einzelnachweise
- ↑ Euler-Produkt. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
- ↑ Rainer Schulze-Pillot: Einführung in Algebra und Zahlentheorie. 2. korrigierte und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-79569-8, S. 53.