Typ-II-Von-Neumann-Algebra

Typ-II-Von-Neumann-Algebren sind spezielle in der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren betrachtete Algebren. Es handelt sich um den zweiten von drei Typen der Typklassifikation von Von-Neumann-Algebren. Diese lassen sich weiter in endliche, sogenannte Typ-II₁-Algebren und unendliche, sogenannte Typ-II_∞-Algebren unterteilen, wobei letztere im σ-endlichen Fall aus ersteren konstruiert werden können.

Eine Projektion in einer Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ ist ein selbstadjungiertes idempotentes Element ${\displaystyle e}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle e=e^{*}=e^{2}}$. Eine solche Projektion heißt abelsch, falls ${\displaystyle eAe}$ eine abelsche Von-Neumann-Algebra ist, sie heißt endlich, falls aus ${\displaystyle e=v^{*}v}$ und ${\displaystyle vv^{*}\leq e}$ stets ${\displaystyle vv^{*}=e}$ folgt. Eine Von-Neumann-Algebra heißt vom Typ II, falls sie außer 0 keine abelschen Projektionen enthält, aber jede von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum von ${\displaystyle A}$ eine von 0 verschiedene endliche Projektion umfasst. Sie heißt vom Typ II₁, falls das Einselement als Projektion endlich ist, sie heißt vom Typ II_∞, falls keine von 0 verschiedene Projektion aus dem Zentrum endlich ist.^[1]

• Es sei ${\displaystyle G}$ eine diskrete Gruppe. Jedes Element ${\displaystyle g\in G}$ operiert als Linksoperator ${\displaystyle l_{g}}$ und als Rechtsoperator ${\displaystyle r_{g}}$ auf dem Hilbertraum ${\displaystyle \ell ^{2}(G)}$ in dem man ${\displaystyle (l_{g}(x))(h):=x(g^{-1}h)}$ und ${\displaystyle (r_{g}(x))(h):=x(hg^{-1})}$ definiert. Es seien ${\displaystyle L_{G}}$ und ${\displaystyle R_{G}}$ die von ${\displaystyle \{l_{g};\,g\in G\}}$ bzw. ${\displaystyle \{r_{g};\,g\in G\}}$ erzeugten Von-Neumann-Algebren. Dann sind ${\displaystyle L_{G}}$ und ${\displaystyle R_{G}}$ endlich und gegenseitige Kommutanten.

Ist ${\displaystyle G}$ eine ICC-Gruppe, das heißt, nur das neutrale Element liegt in einer endlichen Konjugationsklasse, so handelt es sich um Typ-II₁-Algebren, sogar um sogenannte Faktoren, das heißt, das Zentrum der Algebren besteht nur aus den Vielfachen des Einselementes.^[2]

• Ist ${\displaystyle A}$ eine Typ-II₁-Algebra, so ist das Tensorprodukt ${\displaystyle L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}A}$ eine Typ-II_∞-Algebra.
• Im Artikel zu den W*-dynamischen Systemen ist eine Konstruktion beschrieben, die zu Typ-II-Von-Neumann-Algebren führt.

Zu jeder Typ-II-Von-Neumann-Algebra ${\displaystyle A}$ gibt es eine Projektion ${\displaystyle p}$ aus dem Zentrum von ${\displaystyle A}$, so dass

• ${\displaystyle A=pA\oplus (1-p)A=pAp\oplus (1-p)A(1-p)}$
• ${\displaystyle pA}$ ist eine Typ-II₁-Algebra.
• ${\displaystyle (1-p)A}$ ist eine Typ-II_∞-Algebra.^[3]

Zu jeder σ-endlichen Typ-II_∞-Algebra ${\displaystyle A}$ gibt es eine Typ-II₁-Algebra ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle A\cong L(\ell ^{2}){\overline {\otimes }}B}$.^[4]

Tensorprodukte von Typ-II-Algebren sind wieder Typ-II-Algebren. Sind die Algebren vom Typ II₁ oder Typ II_∞, so ist das Tensorprodukt nur dann vom Typ II₁, wenn beide Faktoren es sind, anderenfalls vom Typ II_∞.^[5]

• Typ-I-Von-Neumann-Algebra
• Typ-III-Von-Neumann-Algebra

1. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Definitionen 6.3.1 und 6.5.1
2. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, 6.7.2 – 6.7.5
3. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.5.2
4. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, Academic Press (1983), ISBN 0-1239-3302-1, Theorem 6.7.10
5. ↑ R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II, 1983, ISBN 0-12-393302-1, Tabelle 11.1