Anexo:Identidades trigonométricas

Trigonometría
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Cálculo infinitesimal
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Una identidad trigonométrica es una igualdad que vincula dos funciones trigonométricas y es válida en el dominio común o descartando los puntos que anulan alguna función en caso de ser divisor. Las funciones están ligadas por operaciones racionales y por potencias de exponente entero, aunque en algunos casos se recurre a la raíz cuadrada. Los ángulos se suman algebraicamente, se multiplican o se dividen por enteros positivos y luego actúan como argumento de alguna función.

Nota: la notación ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\alpha }$ se define como ${\displaystyle (\operatorname {sen} \alpha )^{2}}$. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas

• ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =y{\text{, }}\cos \theta =x}$ en ${\displaystyle \Delta R}$ de hipotenusa igual a uno, cateto adyacente ${\displaystyle x}$, cateto opuesto ${\displaystyle y}$, respecto a ${\displaystyle \theta .}$
• ${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }},{\text{ }}\theta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi k\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$
• ${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }},{\text{ }}\theta \neq \pi k\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$
• ${\displaystyle \sec \theta ={\frac {1}{\cos \theta }},{\text{ }}\theta \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi k,\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$
• ${\displaystyle \csc \theta ={\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }},{\text{ }}\theta \neq \pi k,\quad \mathrm {para} \quad k\in \mathbb {Z} .}$^[1]​

Relaciones básicas

Periodicidad ${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle \cos \theta =\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}$
Simetría	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta =-\operatorname {sen}(-\theta )}$
Relación pitagórica	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$
Identidad de la razón	${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}}$

De estas identidades, se puede elaborar la siguiente tabla. Para obtener el signo correcto en algunos casos se necesitará saber los valores para los cuales la función trigonométrica en cuestión es negativa o positiva.

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco^[2]​

En términos de	${\displaystyle \operatorname {sen} }$	${\displaystyle \cos }$	${\displaystyle \operatorname {tg} }$	${\displaystyle \cot }$	${\displaystyle \sec }$	${\displaystyle \csc }$
${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$	${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$	${\displaystyle \cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} \theta }{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \cos \theta }$	${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}$	${\displaystyle \cos \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \theta }$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \theta \ }$	${\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}}$	${\displaystyle {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \cot \theta }$	${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}{\operatorname {sen} \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {\cos \theta }{\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} \theta }}}$	${\displaystyle \cot \theta \ }$	${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}$
${\displaystyle \sec \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }} \over \cot \theta }}$	${\displaystyle \sec \theta \ }$	${\displaystyle {\csc \theta \over {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}}$
${\displaystyle \csc \theta }$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \left({\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)}}}$	${\displaystyle {{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }} \over \operatorname {tg} \theta }}$	${\displaystyle {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle {\sec \theta \over {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}}$	${\displaystyle \csc \theta \ }$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

${\displaystyle \operatorname {tg} {x}={\frac {\operatorname {sen} {x}}{\cos {x}}}\qquad \cot {x}={\frac {1}{\operatorname {tg} {x}}}={\frac {\cos {x}}{\operatorname {sen} {x}}}}$

${\displaystyle \sec {x}={\frac {1}{\cos {x}}}\qquad \csc {x}={\frac {1}{\operatorname {sen} {x}}}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\operatorname {sen}(x+2\pi )\qquad \cos(x)=\cos(x+2\pi )\qquad \operatorname {tg} (x)=\operatorname {tg} (x+\pi )}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(-x)=\operatorname {sen}(x+\pi )\qquad \cos(-x)=-\cos(x+\pi )}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} (x)\qquad \cot(-x)=-\cot(x)}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \cos(x)=\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\qquad \operatorname {tg} (x)=\cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

${\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\varphi \right)}$

donde

${\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(b/a)}$ si α es positivo y ${\displaystyle \varphi ={\rm {arctan}}(b/a)+\pi }$ si no.

Usando la función Atan2 también puede escribirse como

${\displaystyle a\operatorname {sen}(x)+b\cos(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \operatorname {sen} \left(x+\operatorname {atan2} (b,a)\right)}$.

La identidad

${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\left(x\right)+\cos ^{2}\left(x\right)=1}$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\left(x\right)+1=\sec ^{2}\left(x\right)}$

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

${\displaystyle \cot ^{2}\left(x\right)+1=\csc ^{2}\left(x\right)}$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\sqrt {1-\cos ^{2}(x)}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {\operatorname {tg} {x}}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}(x)}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}(x)}}}\qquad \operatorname {sen}(x)={\frac {1}{\sec {x}}}{\sqrt {\sec ^{2}(x)-1}}}$

Ejemplo 2:

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=\operatorname {sen} ^{2}t}$

${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}t-1}{\sec ^{2}t}}=}$ ${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{\cos ^{2}t}}-1}{\frac {1}{\cos ^{2}t}}}=}$ ${\displaystyle \cos ^{2}t\left({\frac {1}{\cos ^{2}t}}-1\right)=}$ ${\displaystyle \cos ^{2}t\left({\frac {1-\cos ^{2}t}{\cos ^{2}t}}\right)=}$ ${\displaystyle 1-\cos ^{2}t=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}t.}$

Identidades de suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

Las siguientes demostraciones son válidas sólo para valores de ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right)}$ pues las construcciones sobre las que se sostienen no se pueden construir para ángulos fuera de ese intervalo. Debajo hay una demostración para el caso general.

${\displaystyle \operatorname {sen}(x\pm y)=\operatorname {sen}(x)\cos(y)\pm \cos(x)\operatorname {sen}(y)}$ ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ ${\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {tg} (x)\pm \operatorname {tg} (y)}{1\mp \operatorname {tg} (x)\operatorname {tg} (y)}}}$

Primera demostración por semejanza de triángulos: Para comprobar ${\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha +\beta )=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )+\cos(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}$ hace falta substituir las relaciones trigonométricas del dibujo construible: ${\displaystyle {\frac {DB}{DA}}={\frac {EF}{EA}}{\frac {AF}{AD}}+{\frac {AF}{AE}}{\frac {DF}{DA}}}$ simplificando ${\displaystyle AD}$ y sacando factor común ${\displaystyle {\frac {AF}{AE}}}$ queda: ${\displaystyle DB={\frac {AF}{AE}}(EF+FD)}$ como ${\displaystyle EF+FD=ED}$: ${\displaystyle {\frac {DB}{DE}}={\frac {AF}{AE}}}$ confirmándose el resultado por semejanza de triángulos. Segunda demostración por áreas de triángulos: La relación entre áreas del dibujo es: ${\displaystyle A_{total}=A_{a}+A_{b}}$ aplicando fórmulas de áreas y con ${\displaystyle a\cos \alpha =b\cos \beta }$ se obtiene: ${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha +\beta )ab}{2}}={\frac {\operatorname {sen} \alpha \cos \beta ab}{2}}+{\frac {\operatorname {sen} \beta \cos \alpha ab}{2}}}$ simplificando: ${\displaystyle \operatorname {sen}(\alpha +\beta )=\operatorname {sen} \alpha \cos \beta +\operatorname {sen} \beta \cos \alpha }$. Demostración de ${\displaystyle \operatorname {sen}(x-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(y)-\cos(x)\operatorname {sen}(y)}$ aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \operatorname {sen}(x-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x+(-y))=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(-y)+\cos(x)\operatorname {sen}(-y)=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(y)+\cos(x)(-\operatorname {sen}(y))}$. Demostración de ${\displaystyle \cos(x+y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ aplicando la primera identidad: ${\displaystyle \cos(x+y)=\operatorname {sen}(x+(y+{\frac {\pi }{2}}))=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\cos(y+{\frac {\pi }{2}})+\cos(x)\operatorname {sen}(y+{\frac {\pi }{2}})=}$ ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)(-\operatorname {sen}(y))+\cos(x)\cos(y)}$. Demostración de ${\displaystyle \cos(x-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ aplicando la identidad antes demostrada: ${\displaystyle \cos(x-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x+(-y))=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(-y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(-y)=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)(-\operatorname {sen}(y))=}$ ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$. Demostración de ${\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {tg} (x)\pm \operatorname {tg} (y)}{1\mp \operatorname {tg} (x)\operatorname {tg} (y)}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha \pm \beta )=}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}=}$${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}{\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen}(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\frac {\operatorname {sen}(\alpha )\cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}{\frac {\cos(\beta )\cos(\alpha )\mp \operatorname {sen}(\alpha )\operatorname {sen}(\beta )}{\cos(\alpha )\cos(\beta )}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} (\alpha )\pm \operatorname {tg} (\beta )}{1\mp \operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta )}}}$.

A continuación se presenta una demostración válida para cualquier ángulo a partir de las definiciones de seno y coseno de cualquier ángulo como parametrizaciones del círculo unidad. Como lemas, se demuestra también que ${\displaystyle \cos(-x)=\cos(x)}$, ${\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)}$ y que ${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sin(x)}$.

Demostración para cualquier ángulo real.

Consideremos el círculo unidad ${\displaystyle S}$ y los puntos ${\displaystyle P=(1,0),X=(\cos x,\sin x)\in S}$ para un cierto ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. El cuadrado de la longitud de la cuerda que une dichos puntos es, por definición de distancia euclídea, ${\displaystyle \operatorname {d} (P,X)^{2}=(1-\cos x)^{2}+(0-\sin x)^{2}=1-2\cos x+\cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1-2\cos x+1=2-2\cos x}$ Ahora consideremos ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ arbitrarios y los puntos ${\displaystyle X=(\cos x,\sin x),Y=(\cos y,\sin y)\in S}$. Calculamos el cuadrado de la longitud de la cuerda que los une de dos formas distintas: ${\displaystyle (a)}$ Por definición de distancia euclídea: ${\displaystyle \operatorname {d} (X,Y)^{2}=(\cos y-\cos x)^{2}+(\sin y-\sin x)^{2}=\cos ^{2}y+\cos ^{2}x-2\cos y\cos x+\sin ^{2}y+\sin ^{2}x-2\sin y\sin x=2-2\cos y\cos x-2\sin y\sin x}$ ${\displaystyle (b)}$ Utilizando el caso particular descrito al principio de la demostración. Hacemos la siguiente transformación en el plano: lo giramos alrededor del centro del círculo unidad ${\displaystyle S}$ un ángulo de ${\displaystyle -y}$ radianes, de forma que ${\displaystyle Y\mapsto P=(1,0)}$ y ${\displaystyle X\mapsto X':=(\cos(x-y),\sin(x-y))}$. Como un giro mantiene invariantes las distancias en el plano, tenemos, por el caso descrito al inicio de la demostración, que ${\displaystyle \operatorname {d} (Y,X)^{2}=\operatorname {d} (P,X')^{2}=2-2\cos(x-y)}$ Igualamos ahora las expresiones encontradas en ${\displaystyle (a)}$ y ${\displaystyle (b)}$: ${\displaystyle 2-2\cos(x-y){\overset {(a)}{=}}\operatorname {d} (Y,X)^{2}{\overset {(b)}{=}}2-2\cos y\cos x-2\sin y\sin x\Rightarrow \cos(x-y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y}$. Esto demuestra la fórmula para el coseno de la resta, a la que nos referiremos en adelante como ${\displaystyle (*)}$. Las otras expresiones se deducen de esta, pero necesitamos los siguientes lemas: ${\displaystyle {\text{Lema }}(1):\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sin x\quad \forall x\in \mathbb {R} }$ Es consecuencia directa de evaluar ${\displaystyle (*)}$ en ${\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}}$. ${\displaystyle {\text{Lema }}(2):\cos(-x)=\cos x\quad \forall x\in \mathbb {R} }$ Es consecuencia directa de evaluar ${\displaystyle (*)}$ en ${\displaystyle x=0}$. ${\displaystyle {\text{Lema }}(3):\sin(-x)=-\sin x\quad \forall x\in \mathbb {R} }$ Por ${\displaystyle (*)}$ y los dos lemas anteriores, tenemos que ${\displaystyle \sin(-x){\overset {(1)}{=}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-(-x)\right)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}+x\right){\overset {(2)}{=}}\cos \left(-\left({\frac {\pi }{2}}+x\right)\right)=\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-x\right){\overset {(*)}{=}}\cos x\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)+\sin x\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}\right)=-\sin x}$ Con estos lemas vemos el resto de fórmulas: ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos(x-(-y)){\overset {(*)}{=}}\cos x\cos(-y)+\sin x\sin(-y){\overset {(2),(3)}{=}}\cos x\cos y-\sin x\sin y}$ ${\displaystyle \sin(x-y){\overset {(1)}{=}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+y-x\right){\overset {(*)}{=}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}+y\right)\cos x+\sin \left({\frac {\pi }{2}}+y\right)\sin x{\overset {(1)}{=}}}$ ${\displaystyle =\sin(-y)\cos x+\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2}}-y\right)\sin x=\sin(-y)\cos x+\cos(-y)\sin x{\overset {(2),(3)}{=}}-\sin y\cos x+\cos y\sin x=\sin x\cos y-\cos x\sin y}$ ${\displaystyle \sin(x+y)=\sin(x-(-y))=\sin x\cos(-y)-\cos x\sin(-y){\overset {(2),(3)}{=}}\sin x\cos y+\cos x\sin y}$ Las fórmulas para la tangente se pueden deducir de las cuatro fórmulas anteriores de igual forma que en la demostración particular anterior. ${\displaystyle \quad \square }$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen}(\pi \pm x)=\mp \operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle \cos(\pi \pm x)=-\cos(x)}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (\pi \pm x)=\pm \operatorname {tg} (x)}$

${\displaystyle \csc(\pi \pm x)=\mp \csc(x)}$

Para ángulos complementarios:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cos(x)}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\operatorname {sen}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\cot(x)}$

${\displaystyle \csc \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\sec(x)}$

${\displaystyle \sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\csc(x)}$

${\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=\operatorname {tg} (x)}$

Para ángulos opuestos:

${\displaystyle \operatorname {sen} \left(-x\right)=-\operatorname {sen} \left(x\right)}$

${\displaystyle \cos \left(-x\right)=\cos \left(x\right)}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(-x\right)=-\operatorname {tg} \left(x\right)}$

${\displaystyle \csc \left(-x\right)=-\csc \left(x\right)}$

${\displaystyle \sec \left(-x\right)=\sec \left(x\right)}$

${\displaystyle \cot \left(-x\right)=-\cot \left(x\right)}$

Otras relaciones:

${\displaystyle {\sqrt {2}}\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{4}}\pm x\right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}\mp x\right)=\cos \left(x\right)\pm \operatorname {sen} \left(x\right)}$

Identidades del ángulo múltiple

Si ${\displaystyle T_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-ésimo polinomio de Chebyshev entonces

${\displaystyle \cos(nx)=T_{n}(\cos x)}$

Fórmula de De Moivre:

${\displaystyle \cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)=(\cos x+i\operatorname {sen} x)^{n}}$

Fórmulas del ángulo doble

Fórmulas para ángulos dobles.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(2\theta )&=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \\\cos(2\theta )&=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\\operatorname {tg} (2\theta )&={\frac {2\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} ^{2}\theta }}\\\cot(2\theta )&={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}\\\sec(2\theta )&={\frac {sec^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}\\\csc(2\theta )&={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}\end{aligned}}}$

Fórmulas del ángulo triple

Fórmulas para ángulos triples.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(3\theta )&=3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta =4\operatorname {sen} \theta \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\cos(3\theta )&=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\theta \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\theta \right)\\\operatorname {tg} (3\theta )&={\frac {3\operatorname {tg} \theta -\operatorname {tg} ^{3}\theta }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\theta }}\\\cot(3\theta )&={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}\\\sec(3\theta )&={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}\\\csc(3\theta )&={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}\end{aligned}}}$

Fórmulas del ángulo mitad

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}&=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}\\\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}{\operatorname {tg} \theta }}={\frac {\operatorname {tg} \theta }{1+\sec \theta }}\\\cot {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta =\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}$

Además

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} {\frac {\beta \pm \theta }{2}}&={\frac {\operatorname {sen} \beta \pm \operatorname {sen} \theta }{\cos \beta +\cos \theta }}\\\operatorname {tg} \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)&=\sec \theta +\operatorname {tg} \theta \\{\sqrt {\frac {1-\operatorname {sen} \theta }{1+\operatorname {sen} \theta }}}&={\frac {|1-\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}|}{1+\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}}}\end{aligned}}}$

Tabla

Estas identidades pueden ser demostradas utilizando las identidades de la suma y diferencia o las fórmulas para ángulos múltiples.

Fórmulas del ángulo doble
${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} 2\theta &=2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \ \\&={\frac {2\operatorname {tg} \theta }{1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2\theta &=\cos ^{2}\theta -\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&=2\cos ^{2}\theta -1\\&=1-2\operatorname {sen} ^{2}\theta \\&={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\theta }{1+\operatorname {tg} ^{2}\theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \operatorname {tg} 2\theta ={\frac {2\operatorname {tg} \theta }{1-\operatorname {tg} ^{2}\theta }}\,}$	${\displaystyle \cot 2\theta ={\frac {\cot \theta -\operatorname {tg} \theta }{2}}\,}$
Fórmulas del ángulo triple
${\displaystyle \operatorname {sen} 3\theta =3\operatorname {sen} \theta -4\operatorname {sen} ^{3}\theta \,}$	${\displaystyle \cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta \,}$	${\displaystyle \operatorname {tg} 3\theta ={\frac {3\operatorname {tg} \theta -\operatorname {tg} ^{3}\theta }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle \cot 3\theta ={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}$
Fórmulas del ángulo mitad
${\displaystyle \operatorname {sen} {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle \cos {\tfrac {\theta }{2}}=\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tg} {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1-\cos \theta \over 1+\cos \theta }}\\&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\cot {\tfrac {\theta }{2}}&=\csc \theta +\cot \theta \\&=\pm \,{\sqrt {1+\cos \theta \over 1-\cos \theta }}\\&={\frac {\operatorname {sen} \theta }{1-\cos \theta }}\\&={\frac {1+\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\end{aligned}}}$

Producto infinito de Leonhard Euler

${\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\operatorname {sen}(\theta ) \over \theta }}$

Fórmulas de reducción de potencias

Se obtienen al resolver la segunda y la tercera versiones de las fórmulas del coseno del ángulo doble.

Seno	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta ={\frac {3\operatorname {sen} \theta -\operatorname {sen} 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{5}\theta ={\frac {10\operatorname {sen} \theta -5\operatorname {sen} 3\theta +\operatorname {sen} 5\theta }{16}}}$
Coseno	${\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}}$
Otros	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}\ \\={\frac {\operatorname {sen} ^{2}2\theta }{4}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {\operatorname {sen} ^{3}2\theta }{8}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}\ \\={\frac {\operatorname {sen} ^{4}2\theta }{16}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle \operatorname {sen} ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {\operatorname {sen} ^{5}2\theta }{32}}}$

Y en términos generales de potencias de ${\displaystyle \operatorname {sen} \theta }$ o ${\displaystyle \cos \theta }$, las siguientes identidades son ciertas y pueden ser obtenidas utilizando la fórmula de De Moivre, la fórmula de Euler y el teorema del binomio.

Para ${\displaystyle n}$ impar

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{n}\theta &={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos((n-2k)\theta )\\\operatorname {sen} ^{n}\theta &={\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{\left({\frac {n-1}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\operatorname {sen}((n-2k)\theta )\end{aligned}}}$

Para ${\displaystyle n}$ par

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{n}\theta &={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos((n-2k)\theta )\\\operatorname {sen} ^{n}\theta &={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{\left({\frac {n}{2}}-k\right)}{\binom {n}{k}}\cos((n-2k)\theta )\end{aligned}}}$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

${\displaystyle \operatorname {sen} x\operatorname {sen} y={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}}$ ${\displaystyle \cos x\cos y={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} x\cos y={\operatorname {sen}(x+y)+\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}$ ${\displaystyle \cos x\operatorname {sen} y={\operatorname {sen}(x+y)-\operatorname {sen}(x-y) \over 2}}$

Demostración ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$ Sabemos por el teorema de la suma y la resta que: ${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos(x)\cos(y)\mp \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos: 1): ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ 2): ${\displaystyle \cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que: 3): ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)}$ Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3) (al sumar la misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría: ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)+\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)+\cos(x-y)}$ Simplificando el elemento sen(x)sen(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría: ${\displaystyle 2\cos(x)\cos(y)=\cos(x+y)+\cos(x-y)}$ Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda: ${\displaystyle \cos(x)\cos(y)={\cos(x+y)+\cos(x-y) \over 2}}$ Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores. Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también: ${\displaystyle \operatorname {sen}(x)\operatorname {sen}(y)={\cos(x-y)-\cos(x+y) \over 2}}$ Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

${\displaystyle \operatorname {sen} a+\operatorname {sen} b=\;\;\;2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {sen} a-\operatorname {sen} b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cos a+\cos b=\;\;\;2\cos \left({\frac {a+b}{2}}\right)\cos \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cos a-\cos b=-2\operatorname {sen} \left({\frac {a+b}{2}}\right)\operatorname {sen} \left({\frac {a-b}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {tg} a\pm \operatorname {tg} b={\frac {\operatorname {sen}(a\pm b)}{\cos a\cos b}}}$

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

Paso de diferencia de cuadrados a producto

1). ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\operatorname {sen}(x+y)\operatorname {sen}(x-y)\,}$ 2). ${\displaystyle \cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y=\cos(x+y)\cos(x-y)\,}$

Demostración: De la suma y diferencia de ángulos se tiene: ${\displaystyle \cos(x+y)=\cos x\cos y-\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\,}$ ${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y+\operatorname {sen} x\operatorname {sen} y\,}$ ${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x\cos ^{2}y-\operatorname {sen} ^{2}x\operatorname {sen} ^{2}y\,}$ De la relación pitagórica tenemos: ${\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}x=1-\cos ^{2}x\,}$ ${\displaystyle \cos ^{2}y=1-\operatorname {sen} ^{2}y\,}$ Luego: ${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x(1-\operatorname {sen} ^{2}y)-(1-\cos ^{2}x)\operatorname {sen} ^{2}y\,}$ ${\displaystyle \cos(x+y)\cos(x-y)=\cos ^{2}x-\operatorname {sen} ^{2}y\,}$ Análogamente se puede demostrar la otra relación.

Paso de senos y cosenos a tangentes

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible expresar senos y cosenos en tangentes.

${\displaystyle |\operatorname {sen} {(x)}|={\frac {|\operatorname {tg} {(x)}|}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}{(x)}}}}}$

${\displaystyle \operatorname {sen} {\left(x\right)}={2}\operatorname {sen} {\left({\frac {x}{2}}\right)}\cos {\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2\operatorname {tg} {\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}}$

${\displaystyle \cos {\left(x\right)}=2\cos ^{2}{\left({\frac {x}{2}}\right)}-1={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\left({\frac {1}{2}}x\right)}}}}$

${\displaystyle |\cos {\left(x\right)}|={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}{\left(x\right)}}}}}$

Funciones trigonométricas inversas

${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)+\operatorname {arctg} (1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{si }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{si }}x<0\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)+\operatorname {arctg} (y)=\operatorname {arctg} \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)}$

Composición de funciones trigonométricas

Los resultados de hacer la composición entre funciones trigonométricas con funciones trigonométricas inversas son los siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen}(\operatorname {arcsen} x)&=x&\cos(\operatorname {arcsen} x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\operatorname {tg} (\operatorname {arcsen} x)&={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\\\operatorname {sen}(\arccos x)&={\sqrt {1-x^{2}}}&\cos(\arccos x)&=x&\operatorname {tg} (\arccos x)&={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\\\operatorname {sen}(\operatorname {arctg} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arctg} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} x)&=x\\\operatorname {sen}(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{x}}&\cos(\operatorname {arccsc} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\operatorname {tg} (\operatorname {arccsc} x)&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\operatorname {sen}(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}&\cos(\operatorname {arcsec} x)&={\frac {1}{x}}&\operatorname {tg} (\operatorname {arcsec} x)&={\sqrt {x^{2}-1}}\\\operatorname {sen}(\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\cos(\operatorname {arccot} x)&={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}&\operatorname {tg} (\operatorname {arccot} x)&={\frac {1}{x}}\end{aligned}}}$

Fórmulas de productos infinitos

Las siguientes fórmulas de productos infinitos para funciones trigonométricas pueden ser útiles:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sen} x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\cos x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\\\operatorname {senh} x&=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)\\\operatorname {cosh} x&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Fórmula de Euler

${\displaystyle e^{+\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}+\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}$

${\displaystyle e^{-\mathrm {i} x}=\cos {\left(x\right)}-\mathrm {i} \operatorname {sen} {\left(x\right)}}$

Teorema del coseno

Teorema del coseno Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces: ${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,}$

Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

${\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen}(A)}}={\frac {b}{\operatorname {sen}(B)}}={\frac {c}{\operatorname {sen}(C)}}}$

Aplicación

El teorema del seno es usado con frecuencia para resolver problemas en los que se conoce un lado del triángulo y dos ángulos y se desea encontrar las medidas de los otros lados para posteriormente identificar los valores de las funciones trigonométricas.

Definiciones exponenciales

La mayor parte de funciones trigonométricas admiten una formulación en términos de números complejos, algunos ejemplos:

Función	Función inversa
${\displaystyle \operatorname {sen} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsen} x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}$	${\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {{\tfrac {1}{x^{2}}}-1}}\right)\,}$
${\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,}$

Véase también

• Trigonometría
• Función trigonométrica
• Hexágono trigonométrico. Recurso mnemónico para ayudar a recordar relaciones e identidades trigonométricas.
• Seno, coseno, tangente

Referencias

Bibliografía

• Spiegel, M. & Abellanas, L.: "Fórmulas y tablas de matemática aplicada", Ed. McGraw-Hill, 1988. ISBN 84-7615-197-7.

Enlaces externos

• Algunas identidades extras más varios ejercicios resueltos.
• Prueba visual del seno de la suma. Prueba visual del teorema del seno.
• Trigonometría Fácil: El Hexágono Trigonométrico.
• Tabla de Identidades Trigonométricas para imprimir.