Implicación opuesta

Implicación opuesta
Diagrama de Venn de la conectiva
Nomenclatura
Lenguaje natural	A si B B solo si A
Lenguaje formal	${\displaystyle A\leftarrow B}$
Tabla de verdad
${\displaystyle {\begin{array}{c|c||c}A&B&A\leftarrow B\\\hline V&V&V\\V&F&V\\F&V&F\\F&F&V\\\end{array}}}$
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Conectivas lógicas
Tautología ${\displaystyle \top }$ Conjunción opuesta ${\displaystyle \uparrow }$ Implicación opuesta ${\displaystyle \leftarrow }$ Condicional material ${\displaystyle \rightarrow }$ Disyunción lógica ${\displaystyle \lor }$ Negación lógica ${\displaystyle \lnot }$ Disyunción exclusiva ${\displaystyle \nleftrightarrow }$ Bicondicional ${\displaystyle \leftrightarrow }$ Afirmación lógica Disyunción opuesta ${\displaystyle \downarrow }$ Adjunción lógica ${\displaystyle \nrightarrow }$ Adjunción opuesta ${\displaystyle \nleftarrow }$ Conjunción lógica ${\displaystyle \land }$ Contradicción ${\displaystyle \bot }$
v t e

En razonamiento formal, la implicación opuesta ( ${\displaystyle \leftarrow }$ ), conversa o recíproca, entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en falso sólo si la implicación es falsa mientras la condición es cierta, y en cierto de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos donde se utiliza la implicación opuesta.

En otras palabras:

• que suceda B es condición suficiente para que suceda A, y
• que suceda A es condición necesaria para que suceda B; esto es, si no ocurre A, entonces, no ocurre B.

Ejemplo: No hay vida sin atmósfera.

A: Hay atmósfera B: Hay vida

(A←B)

que podría también interpretarse en español como: «Hay atmósfera si hay vida», «Hay vida solo si hay atmósfera», «Si no hay atmósfera, entonces, no hay vida».

Definición

Siendo ${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{V,F\}}$, el conjunto de los valores de verdad de la lógica bivalente, la implicación opuesta, ${\displaystyle \leftarrow }$, es la función de verdad:

${\displaystyle {\begin{array}{rccl}\leftarrow :&{\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}&\longrightarrow &{\mathcal {P}}\\&(a,b)&\mapsto &c=a\leftarrow b\end{array}}}$

Siendo una aplicación matemática definida de ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}}$ sobre ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, de modo que a cada par ordenado ${\displaystyle (a,b)\,}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}}$ se le asocia un único ${\displaystyle c\,}$ de ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, expresado ${\displaystyle c=a\leftarrow b}$.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathcal {P}}\times {\mathcal {P}}\quad :\quad \exists !\;c\in {\mathcal {P}}\quad /\quad c=a\leftarrow b}$

La implicación opuesta solamente es falsa cuando la primera proposición es falsa y la segunda verdadera; para los demás casos, es verdadera. No es conmutativa, esto es, dadas dos proposiciones ${\displaystyle p}$ y ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle p\leftarrow q}$ y ${\displaystyle q\leftarrow p}$ no son lógicamente equivalentes.

Propiedades

Véase también

• Conversión lógica
• Álgebra de Boole
• Lógica proposicional
• Puerta lógica
• Implicación
• Operador a nivel de bits

Enlaces externos

• Lógica de enunciados

Bibliografía

• Nachbin, Leopoldo (1986). Álgebra elemental. Rochester, Nueva York: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.
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