Matriz antihermitiana

En álgebra lineal, una Matriz antihermitiana es una matriz cuadrada cuya traspuesta conjugada es menos la matriz. Esto es si satisface a la relación:

${\displaystyle (A^{T})^{*}}$ ${\displaystyle =-A}$

o en su forma componente, si (${\displaystyle A=a_{i,j}}$):

${\displaystyle a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i}}}}$

Para todas las i y las j.

Ejemplo

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz antihermitiana:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&2+i\\-2+i&3i\end{pmatrix}}}$

Propiedades

• 1. Los autovalores de una matriz antihermitiana son todos imaginarios puros. Es más, las matrices antihermitianas son matrices normales. Por lo tanto, son diagonalizables y sus autovectores para distintos autovalores son ortogonales.
• 2. Si A es antihermitiana entonces iA es hermitiana.
• 3. Si A,B es antihermitiana, entonces aA+bB es antihermitiana para todos los escalares reales de a,b.
• 4. Si A es antihermitiana, entonces A^2k es hermitiana para todos los naturales k.
• 5. Si A es antihermitiana, entonces A^2k+1 es antihermitiana para todos los naturales k.
• 6. Si A es antihermitiana, entonces e^A es matriz unitaria.
• 7. La diferencia entre una matriz y su traspuesta conjugada (${\displaystyle C-C^{*}}$) es antihermitiana.
• 8. Una matriz cuadrada arbitraria C puede ser escrita como la suma de la matriz hermitiana A y la matriz antihermitiana B:

${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{para}}\quad A={\frac {1}{2}}(C+C^{*})\quad {\mbox{y}}\quad B={\frac {1}{2}}(C-C^{*}).}$

Véase también

• Matriz hermitiana
• Matriz identidad
• Matriz unitaria