La traspuesta AT de una matriz A puede ser obtenida reflejando los elementos a lo largo de su diagonal. Repitiendo el proceso en la matriz traspuesta devuelve los elementos a su posición original. Así, la traspuesta de una traspuesta es la matriz original, (AT)T = A.
Sea una matriz con filas y columnas. La matriz traspuesta, denotada con .[1][2]
Está dada por:
[3]
En donde el elemento de la matriz original se convertirá en el elemento de la matriz traspuesta .
Ejemplos
Otro ejemplo un poco más grande es el siguiente:
Propiedades
Involutiva
Para toda matriz ,
Demostración
Se recurre a la definición de trasposición elemento a elemento, sean aij dichos elementos, denotando por A = (aij)ij a la matriz, se tiene
∎
Distributiva
Sean A y B matrices con elementos en un anillo y sea :
Demostración
Denotando por A = (aij)ij, B = (bij)ij y A+B = (cij)ij, donde cij = aij+bij, se tiene
∎
Lineal
Demostración
Se recurre a la definición de producto por escalar como operación externa
sea dij = c aij, con esta notación se tiene cA = (dij)ij, por trasposición queda
Se recurre a la definición de producto matricial, sean A = (aij)ij, B = (bij)ij y A B = (cij)ij entonces por definición
por trasposición queda
que coincide con la definición de producto para BtAt∎
Si es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces
es semidefinida positiva.
Demostración
Sean A una matriz de tamaño m × n y x un vector columna de n componentes perteneciente a un espacio normado, con denotando la norma euclídea.
de las propiedades de la norma se deduce xtAtAx ≥ 0 para todo x, luego AtA es semidefinida positiva. ∎
Definiciones asociadas
Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta:
Una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta coincide con su inverso aditivo.
Si los elementos de la matriz son números complejos y su traspuesta coincide con su conjugada, se dice que la matriz es hermítica.
y antihermítica si
Vale la pena observar que si una matriz es hermítica (matriz simétrica en el caso de matriz real) entonces es diagonalizable y sus autovalores son reales. (El recíproco es falso).
Véase también
La definición de matriz traspuesta se usa en la definición de Matriz ortogonal.
Escítala : Instrumento antiguo para cifrar mensajes basado en la trasposición de matrices.