Osittaisfunktio

Osittaisfunktio on funktion ${\displaystyle \mathbf {} f:A\to B}$ yleistys, joka liittää jokaiseen lähtöjoukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ alkioon ${\displaystyle \mathbf {} a}$ enintään yhden maalijoukon ${\displaystyle \mathbf {} B}$ alkion, jota merkitään ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$, jos tämä ${\displaystyle \mathbf {} a}$:n liitettävä alkio on olemassa. Kyseessä on siis tavallisen funktion yleistys, sillä tavallinen funktio liittää jokaiseen joukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ alkioon ${\displaystyle \mathbf {} a}$ tarkalleen yhden joukon ${\displaystyle \mathbf {} B}$ alkion ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$, mutta funktion osittaisuus sallii sen, että joillakin ${\displaystyle \mathbf {} A}$:n alkioilla ${\displaystyle \mathbf {} a}$ tällaista siihen ${\displaystyle \mathbf {} f}$-liitettävää ${\displaystyle \mathbf {} B}$-joukon alkiota ei ole. ("liitettäviä on nyt yhden sijaan nolla kappaletta.") Tällaisilla alkioilla ${\displaystyle \mathbf {} a}$ sanotaan, että ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$ ei ole määritelty, ja toisinaan tämä ilmoitetaan merkinnällä

${\displaystyle \mathbf {f} (a)=\uparrow }$.

Niitä joukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ alkioita, joilla ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$ on määritelty, kutsutaan yhdessä funktion ${\displaystyle \mathbf {} f}$ määrittelyjoukoksi, jota voidaan merkitä esimerkiksi symbolilla ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}}$. Tavallisilla funktioilla ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}=A}$ eli määrittelyjoukko ja lähtöjoukko yhtyvät, mutta yleensä ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}\subset A}$ eli määrittelyjoukko on pienempi ja sallittua on myös sekin, että ${\displaystyle \mathbf {} A^{'}=\emptyset }$ eli ${\displaystyle \mathbf {} f(a)}$ ei ole määritelty missään joukon ${\displaystyle \mathbf {} A}$ pisteessä.

Esimerkkejä

1)

Funktio ${\displaystyle \mathbf {} f:\{a,b,c,d\}\to \{x,y,z\}}$, joka on määritelty niin, että ${\displaystyle \mathbf {} f(a)=\uparrow ,f(b)=x,f(c)=z}$ ja ${\displaystyle \mathbf {} f(d)=\uparrow }$ eli arvoilla ${\displaystyle \mathbf {} a}$ ja ${\displaystyle \mathbf {} d}$ funktio ${\displaystyle \mathbf {} f}$ ei ole määritelty.

2)

Funktio ${\displaystyle \mathbf {} f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$, missä ${\displaystyle \mathbf {} f(n)={\sqrt {n}}}$, on määritelty tarkalleen silloin, kun ${\displaystyle \mathbf {} n}$ on neliö eli kuuluu joukkoon ${\displaystyle \mathbf {} \{0^{2},1^{2},2^{2},3^{2},4^{2},5^{2},\cdots \}}$, sillä tarkalleen tällöin neliöjuuri kuuluu luonnollisten lukujen joukkoon, joka on nyt otettu maalijoukoksi.

3)

Laskennan teoriassa funktioita lasketaan Turingin koneella niin, että syötteellä ${\displaystyle \mathbf {} n}$ kone suoritettuaan äärellisen määrän laskenta-askelia kirjoittaa tulosteen, joka määritellään käytetyn Turingin koneen määräämän funktion ${\displaystyle \mathbf {} f(n)}$-arvoksi. Kuitenkin useilla Turingin koneilla käy niin, että joillakin syötteillä alkanut laskenta ei pysähdy koskaan, tuloste jää näin saamatta ja ${\displaystyle \mathbf {} f(n)}$ jää siis määrittelemättömäksi kyseisellä koneella näillä syötteillä.