Painopiste

Painopiste on, suuresti yksinkertaistaen, kappaleessa oleva kohta, johon kappaleelle luontainen painovoima vaikuttaa samalla tavalla kuin se vaikuttaa kappaleen jokaiseen kohtaan erikseen. Se on tavallaan kappaleeseen vaikuttavan painovoiman vaikutuspiste. Myös useampien kappaleen systeemeille tunnetaan painopisteen käsite.^[1]

Jokaiseen kappaleen atomiin vaikuttaa pystysuora voima, joka on syntyisin esimerkiksi planeetta Maan gravitaatiokentästä. Maa vetää puoleensa kutakin atomia voimilla, jotka osoittavat lähes yhdensuuntaisina kohti Maan keskipistettä. Yhdensuuntaisina näiden voimien resultantti on samalla myös kappaleen paino. Käännettiinpä kappaletta painovoimakentässä eri asentoihin, kulkee kappaleen resultanttivoima, eli painovoima, aina yhden saman pisteen kautta. Tätä pistettä kutsutaan kappaleen painopisteeksi.^[1]

Painovoima vaikuttaa kappaleeseen kuin sen koko massa olisi keskittynyt sen painopisteeseen. Siksi sitä kutsutaan myös massakeskipisteeksi. Massakeskipiste on kuitenkin eri asia kuin painopiste, sillä niiden paikat eroavat, jos painovoimakenttä ei ole homogeeninen. Massakeskipiste on kappaleen sisäinen ominaisuus, joka riippuu vain atomien painoista ja sijainneista eli massajakaumasta. Painovoima riippuu massajakauman lisäksi ulkopuolisen gravitaatiokentän rakenteesta.^[2]

Painopisteen määritelmä

Kappaleen eri osiin kohdistuvat painovoiman vetovoimat aiheuttavat samansuuruisen momentin referenssipisteen suhteen kuin painopisteeseen vaikuttava koko kappaleen paino. Asettamalla referenssipiste origoon, merkitsemällä kappaleen painopistettä ${\displaystyle x_{0}}$ ja kappaleen muiden osien pisteitä ${\displaystyle x_{i}}$ sekä kappaleen painovoimaa ${\displaystyle G_{0}}$ ja muiden osien painoja ${\displaystyle G_{i}}$, voidaan momenttien avulla laskea koordinaatit

${\displaystyle G_{0}x_{0}=\sum G_{i}x_{i}\Leftrightarrow x_{0}={\frac {\sum G_{i}x_{i}}{G_{0}}}.}$

Jos painovoima on suoraan verrannollinen massaan eri kohdissa, voidaan supistaa putoamiskiihtyvyydet pois ja saadaan painopisteen koordinaateiksi samat koordinaatit kuin massakeskipisteelläkin

${\displaystyle x_{0}={\frac {\sum G_{i}x_{i}}{G_{0}}}\Leftrightarrow x_{0}={\frac {\sum m_{i}gx_{i}}{m_{0}g}}\Leftrightarrow x_{0}={\frac {\sum m_{i}x_{i}}{m_{0}}}.}$

Yleisempi määritelmä painopisteelle saadaan integroimalla massajakaumaa

${\displaystyle x_{0}={\frac {\int x\ dm}{\int dm}},}$

jossa differentiaalimuodolle ${\displaystyle dm}$ pätee

${\displaystyle dm=\rho dV}$,

missä ${\displaystyle \rho }$ on kappaleen tiheysjakauma, joka ei välttämättä ole vakio, ja ${\displaystyle dV}$ on tilavuuselementti.

Muuta

Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painon vaikutussuora kulkee kappaleen asennosta riippumatta. Jos kappaletta tuetaan painopisteestä, on kappale tasapainossa missä asennossa tahansa.

Kappaleen painopiste ei aina sijaitse itse kappaleen sisällä, vaikka näin useimmissa tapauksissa onkin. Esimerkiksi toruksen painopiste ei sijaitse itse kappaleessa.

Painopisteen määrittäminen

Painopisteen x-koordinaatti saadaan kaavasta ${\displaystyle x_{0}={\frac {\sum {m_{i}x_{i}}}{\sum {m_{i}}}}}$

ja y-koordinaatti vastaavasti kaavasta ${\displaystyle y_{0}={\frac {\sum {m_{i}y_{i}}}{\sum {m_{i}}}}}$

Vastaavat integraaleina: ${\displaystyle r_{0}={\frac {\int _{A}{r}\rho (x,y,z)~dxdydz}{\int _{A}{}\rho (x,y,z)~dxdydz}},}$

jossa ${\displaystyle A}$ kattaa koko määriteltävän kappaleen tilan ja vektori ${\displaystyle r}$ sisältää kaikki koordinaatit.

Katso myös

• Painopisteen geometrisia määritystapoja
• Keskijana
• Kolmion painopiste

Lähteet