Paraabelikoordinaatisto

Kaksiulotteinen paraabelinen koordinaatisto (punainen ja vihreä) karteesisen koordinaatiston (sininen) päällä.
Kolmiulotteinen parabolinen koordinaatisto, jossa kaksi koordinaattia katsotaan paraboloideista ja kolmas tasosta.

Paraabelikoordinaatisto on kaksiulotteinen ortogonaalinen koordinaatisto, jossa koordinaattiviivat ovat paraabeleja, joiden polttopisteet sijaitsevat origossa. Koska kaikkien kyseisten paraabelien polttopiste on sama, niitä kutsutaan konfokaaleiksi paraabeleiksi. Kolmiulotteinen versio paraabelikoordinaateista saadaan kiertämällä kaksiulotteista koordinaatistoa sen symmetria-akselinsa ympäri.

Kaksiulotteinen paraabelikoordinaatisto

Kaksiulotteinen paraabelikoordinaatisto ( τ , σ ) {\displaystyle (\tau ,\sigma )} määritellään yhtälöillä

x = σ τ {\displaystyle x=\sigma \tau \,}
y = 1 2 ( τ 2 − σ 2 ) {\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}

Viivat, joilla σ {\displaystyle \sigma } on vakio, ovat ylöspäin aukeavia konfokaaleja paraabeleja

2 y = x 2 σ 2 − σ 2 {\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}

Vastaavat viivat, joilla τ {\displaystyle \tau } on vakio, ovat alaspäin aukeavia konfokaaleja paraabeleja

2 y = − x 2 τ 2 + τ 2 {\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}

Kaikkien näiden paraabelien polttopisteet sijaitsevat origossa.

Yhtälöitä paraabelikoordinaatistossa

Viivaelementin yhtälö paraabelikoordinaatistossa on

d s 2 = ( τ 2 + σ 2 ) ( d τ 2 + d σ 2 ) {\displaystyle ds^{2}=(\tau ^{2}+\sigma ^{2})(d\tau ^{2}+d\sigma ^{2})}

Pinta-alaelementin yhtälö on

d A = ( σ 2 + τ 2 ) d σ d τ {\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }

Pisteen etäisyys origosta saadaan yhtälöllä

r = τ 2 + σ 2 2 {\displaystyle r={\frac {\tau ^{2}+\sigma ^{2}}{2}}}

Laplacen operaattori

∇ 2 Φ = 1 σ 2 + τ 2 ( ∂ 2 Φ ∂ σ 2 + ∂ 2 Φ ∂ τ 2 ) {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}

Aiheesta muualla

  • Paraabelikoordinaatisto Wolfram MathWorld:ssa