Équation aux dérivées partielles elliptique

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En mathématiques, une équation aux dérivées partielles linéaire du second ordre, dont la forme générale est donnée par :

∑ i , j = 1 n a i j ( x ) ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j + ∑ i = 1 n b i ( x ) ∂ f ∂ x i + c ( x ) f = h ( x ) ,       x ∈ U ⊂ R n {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{a_{ij}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}+\sum _{i=1}^{n}{b_{i}(\mathbf {x} ){\dfrac {\partial f}{\partial x_{i}}}}+c(\mathbf {x} )f=h(\mathbf {x} ),\ \ \ \mathbf {x} \in U\subset \mathbb {R} ^{n}}

est dite elliptique en un point donné x de l'ouvert U si la matrice carrée symétrique A ( x ) = ( a i j ) 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle A(\mathbf {x} )=\left(a_{ij}\right)_{1\leq i,j\leq n}} des coefficients du second ordre admet des valeurs propres non nulles et de même signe[1].

Exemples

En physique, les équations de Laplace, Δ V = 0 {\displaystyle \Delta V=0} et de Poisson Δ V + ρ ϵ 0 = 0 {\displaystyle \Delta V+{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0} pour le potentiel électrostatique V = V ( r ) {\displaystyle V=V(\mathbf {r} )} respectivement dans le vide et pour la distribution de charges ρ = ρ ( r ) {\displaystyle \rho =\rho (\mathbf {r} )} sont de type elliptique. En effet la matrice A est ici la matrice unité, et donc ses valeurs propres sont toutes égales à 1, donc non nulles et de même signe.

En revanche pour l'équation d'onde scalaire ∂ 2 f ∂ t 2 − c 2 Δ f = 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}-c^{2}\Delta f=0} la matrice A est donnée par ( 1 0 0 0 0 − c 2 0 0 0 0 − c 2 0 0 0 0 − c 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-c^{2}&0&0\\0&0&-c^{2}&0\\0&0&0&-c^{2}\end{pmatrix}}} , donc elle possède des valeurs propres non nulles, 1 et -c2, mais de signe opposé. Il ne s'agit donc pas d'une équation aux dérivées partielles elliptique, mais d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.

Notes et références

Bibliographie

  • H. Reinhard, Équations aux dérivées partielles, introduction, Paris, Dunod Université, coll. « Sciences Sup » (réimpr. 2004) (1re éd. 1991), 291 p., broché (ISBN 978-2100484225).

Voir aussi

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