Coloration de régions
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/50/Color_complex_plot2.jpg/200px-Color_complex_plot2.jpg)
La coloration de régions[1] est une technique de représentation des fonctions complexes. Le terme vient de l'anglais "domain coloring", inventé par Frank Farris aux alentours de 1998[2],[3]. La couleur avait déjà été utilisée plus tôt pour visualiser les fonctions complexes, en général en associant l'argument à la couleur[4]. La technique consistant à utiliser une variation continue de couleur pour associer les points de l'ensemble de départ à l'ensemble d'arrivée ou au plan image a été utilisée en 1999 par George Abdo et Paul Godfrey[5]. Les grilles colorées ont été utilisées dans les graphiques par Doug Arnold en 1997[6].
Motivations
Une fonction réelle (par exemple ) peut être représentée graphiquement à l'aide de deux coordonnées cartésiennes dans un plan.
Le graphe d'une fonction complexe d'une variable complexe requiert deux dimensions complexes. Le plan complexe étant lui-même à deux dimensions, le graphe d'une fonction complexe est un objet à quatre dimensions réelles. Cette particularité rend la visualisation de fonctions complexes dans un espace tridimensionnel difficile. L'illustration d'une fonction holomorphe peut se faire grâce à une surface de Riemann.
Représentation visuelle du plan complexe
Étant donné un nombre complexe , la phase (connue aussi comme l'argument) peut être représentée par la teinte.
![Coloration de régions, phase](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Domain_coloring_z_04.jpg/220px-Domain_coloring_z_04.jpg)
La disposition des teintes est arbitraire[7] mais suit souvent l'ordre du cercle chromatique. La phase est parfois représentée par un dégradé plutôt que par la teinte.
Le module est représenté par l'intensité ou des variations d'intensité.
![Coloration de régions, phase et module](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Domain_coloring_z_03.jpg/220px-Domain_coloring_z_03.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/87/Domain_coloring_z_02.jpg/220px-Domain_coloring_z_02.jpg)
Il est possible d'ajouter aussi l'illustration des parties réelles et imaginaires des affixes du plan complexe à l'aide d'une grille.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Domain_coloring_z_05.jpg/220px-Domain_coloring_z_05.jpg)
Exemples
L'image suivante illustre la fonction sinus entre et sur l'axe réel et de à sur l'axe imaginaire.
L'image suivante illustre la fonction , en mettant en évidence les trois zéros (dont l'un est double) et les deux pôles.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/60/Domain_coloring_x2-1_x-2-i_x-2-i_d_x2%2B2%2B3i.jpg/500px-Domain_coloring_x2-1_x-2-i_x-2-i_d_x2%2B2%2B3i.jpg)
Voir aussi
- Application conforme, où le domaine est coloré avec une image au lieu d'une table de couleurs
Références
- ↑ Georg Glaeser et Konrad Polthier (trad. de l'allemand par Janie Molard), Surprenantes images des mathématiques, Paris, Belin, coll. « Pour la science », , 344 p. (ISBN 978-2-7011-5695-8), p. 290
- ↑ (en) Frank A. Farris, « Visualizing complex-valued functions in the plane », sur maa.org, (consulté le )
- ↑ (en) Hans Lundmark, « Visualizing complex analytic functions using domain coloring », (Représentation de fonctions analytiques complexes en utilisant la coloration de régions) Lundmark se réfère à Farris pour l'invention du terme "domain coloring", (consulté le )
- ↑ (en) David A. Rabenhorst, « A Color Gallery of Complex Functions », Pixel: the magazine of scientific visualization, Pixel Communications, nos 1-4, , p. 42 et suivantes.
- ↑ (en) George Abdo et Paul Godfrey, « Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring », (consulté le )
- ↑ (en) Douglas N. Arnold, « Graphics for complex analysis », sur www.ima.umn.edu, (consulté le )
- ↑ Autre exemple de représentation de la phase par quatre couleurs (bleu, magenta, rouge et noir) : (en) François Labelle, « A Gallery of Complex Functions », sur wismuth.com, (consulté le )
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