Conjecture de Selberg sur la fonction zêta

En mathématiques, la conjecture de Selberg, du nom d'Atle Selberg, est un théorème sur la densité de zéros de la fonction zêta de Riemann ζ(1/2 + it). On sait que la fonction a une infinité de zéros sur cette ligne dans le plan complexe : le problème est de connaître leur répartition. Les résultats sur cela peuvent être formulés en fonction de N(T), la fonction de comptage des zéros sur la droite avec 0 ≤ t ≤ T.

Enoncé

En 1942, Atle Selberg étudie la deuxième conjecture de Hardy–Littlewood sur la fonction zêta; et il prouve que pour tout ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , il existe T 0 = T 0 ( ε ) > 0 {\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0} et c = c ( ε ) > 0 , {\displaystyle c=c(\varepsilon )>0,} tel que pour T ≥ T 0 {\displaystyle T\geq T_{0}} et H = T 0.5 + ε {\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }} , l'inégalité

N ( T + H ) − N ( T ) ≥ c H log ⁡ T {\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}

est vrai.

À son tour, Selberg énonce une conjecture relative à des intervalles plus courts[1], à savoir qu'il est possible de diminuer la valeur de l'exposant a = 0,5 dans

H = T 0.5 + ε . {\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }.}

Preuve de la conjecture

En 1984, Anatolii Karatsuba a prouvé[2],[3],[4] que pour un ε {\displaystyle \varepsilon } fixé satisfaisant

0 < ε < 0.001 , {\displaystyle 0<\varepsilon <0.001,}

un T suffisamment grand et

H = T a + ε , {\displaystyle H=T^{a+\varepsilon },} a = 27 82 = 1 3 − 1 246 , {\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}},}

l'intervalle en ordonnée t(T , T + H) contient au moins cH ln(T) zéros de la fonction zêta de Riemann

ζ ( 1 2 + i t ) ; {\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )};}

et a ainsi confirmé la conjecture de Selberg.

Travaux postérieurs

En 1992, Karatsuba a prouvé[5] qu'un analogue de la conjecture de Selberg est valable pour "presque tous" les intervalles ]T , T + H], H = Tε où ε est un nombre positif fixe arbitrairement petit. La méthode de Karatsuba permet d'étudier les zéros de la fonction zêta de Riemann sur des intervalles "supercourts" de la droite critique, c'est-à-dire sur les intervalles ]T , T + H], dont la longueur H croît plus lentement que n'importe quel puissance de T.

En particulier, il a démontrer que pour tout nombre donné ε, ε1 satisfaisant les conditions 0 < ε,ε1 < 1 presque tous les intervalles ]T , T + H ] pour H ≥ exp[(ln T )ε] contiennent au moins H (ln T )1−ε1 zéros de la fonction ζ(1/2 + it). Cette estimation est assez proche du résultat qui découle de l'hypothèse de Riemann.

Notes et références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Selberg's zeta function conjecture » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ Selberg, « On the zeros of Riemann's zeta-function », Shr. Norske Vid. Akad. Oslo, no 10,‎ , p. 1–59
  2. ↑ Karatsuba, « On the zeros of the function ζ(s) on short intervals of the critical line », Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., no 48:3,‎ , p. 569–584
  3. ↑ Karatsuba, « The distribution of zeros of the function ζ(1/2 + it) », Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., no 48:6,‎ , p. 1214–1224
  4. ↑ Karatsuba, « On the zeros of the Riemann zeta-function on the critical line », Proc. Steklov Inst. Math., no 167,‎ , p. 167–178
  5. ↑ (en) Karatsuba, « On the number of zeros of the Riemann zeta-function lying in almost all short intervals of the critical line », Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat., no 56:2,‎ , p. 372–397
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