Distance d'un point à un plan

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La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM'

Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).

Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.

Soit dans l'espace:

  • Le point A de coordonnées ( x a , y a , z a ) {\displaystyle (x_{a},y_{a},z_{a})}
  • Un point M quelconque du plan P
  • Le projeté orthogonal H de A sur P, noté H ( x h , y h , z h ) {\displaystyle H(x_{h},y_{h},z_{h})}
  • Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0
  • n → ( a b c ) {\displaystyle {\vec {n}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}} un vecteur normal au plan P

Alors la distance δ {\displaystyle \delta } du point A au plan P notée δ A , P {\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }} vaut :

δ A , P = | n → ⋅ M A → | | | n → | | {\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }={\frac {\left|{\vec {n}}\cdot {\vec {MA}}\right|}{||{\vec {n}}||}}}

d'où, δ A , P = | a x a + b y a + c z a + d | a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}

Démonstration

Premièrement, on sait que les vecteurs A H → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}} et n → {\displaystyle {\vec {n}}} sont colinéaires, on peut donc écrire :

A H → = λ ⋅ n → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}=\lambda \cdot {\vec {n}}}

ce qui revient à,

( x h − x a y h − y a z h − z a ) = λ ( a b c ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{h}-x_{a}\\y_{h}-y_{a}\\z_{h}-z_{a}\\\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}a\\b\\c\\\end{pmatrix}}}

Deuxièmement, H ∈ P {\displaystyle \mathrm {H} \in \mathrm {P} } donc:

a x h + b y h + c z h + d = 0 {\displaystyle ax_{h}+by_{h}+cz_{h}+d=0}

Ceci revient à résoudre le système suivant:

{ x h = λ a + x a y h = λ b + y a z h = λ c + z a a x h + b y h + c z h + d = 0 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x_{h}=\lambda a+x_{a}\\y_{h}=\lambda b+y_{a}\\z_{h}=\lambda c+z_{a}\\ax_{h}+by_{h}+cz_{h}+d=0\end{matrix}}\right.}

La substitution des coordonnées de H dans la 4e équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire :

a ( λ a + x a ) + b ( λ b + y a ) + c ( λ c + z a ) + d = 0 {\displaystyle a(\lambda a+x_{\mathrm {a} })+b(\lambda b+y_{\mathrm {a} })+c(\lambda c+z_{\mathrm {a} })+d=0} .

ou encore :

a x a + b y a + c z a + d + λ ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 0 {\displaystyle ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d+\lambda (a^{2}+b^{2}+c^{2})=0} .

P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a

λ = − a x a + b y a + c z a + d a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \lambda =-{\frac {ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}

Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur A H → {\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {AH} }}} , donc :

δ A , P = ‖ A H → ‖ = | λ | ‖ n → ‖ {\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }=\lVert {\vec {AH}}\rVert =\left|\lambda \right|\lVert {\vec {n}}\rVert }
soit δ A , P = | − ( a x a + b y a + c z a + d ) a 2 + b 2 + c 2 | a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,\mathrm {P} }=\left|{\frac {-(ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\right|{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}
et enfin δ A , P = | a x a + b y a + c z a + d | a 2 + b 2 + c 2 {\displaystyle \delta _{\mathrm {A} ,P}={\frac {\left|ax_{a}+by_{a}+cz_{a}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}}

Ceci termine la preuve.

Voir aussi

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