Modèle de l'hyperboloïde

En géométrie, le modèle de l'hyperboloïde, également dénommé modèle de Minkowski ou modèle de Lorentz (d'après les noms de Hermann Minkowski et Hendrik Lorentz), est un modèle de géométrie hyperbolique dans un espace de Minkowski de dimension n. Ce modèle d'espace hyperbolique est étroitement lié au modèle de Klein ou au disque de Poincaré.

Forme quadratique de Minkowski

Article détaillé : Espace de Minkowski.

Si x = (x₀, x₁, …, x_n) est un élément de l'espace Rⁿ⁺¹, la forme quadratique de Minkowski est définie par :

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}

Les points x∈ Rⁿ⁺¹ tel que Q(x) = 1 forment un hyperboloïde S de dimension n constitué de deux composantes connexes, ou feuilles : la feuille avant, ou future, S⁺, où x₀>0 et la feuille arrière, ou passée, S⁻, où x₀<0. Les points du modèle de l'hyperboloïde de dimension n sont les points appartenant à la feuille S⁺.

La forme bilinéaire de Minkowski B (qui n'est pas un produit scalaire) est la polarisation de la forme quadratique de Minkowski Q :

B(x,y)={\dfrac {Q(x+y)-Q(x)-Q(y)}{2}}

Explicitement,

B(x,y)=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}

La distance hyperbolique entre deux points x et y de S⁺ est donnée par la formule :

d(x,y)=\cosh ^{-1}(B(x,y))

Les droites hyperboliques sont représentées dans le modèle de l'hyperboloïde par des hyperboles, intersections de l'hyperboloïde avec des plans passant par l'origine.

Le plan tangent en x à l'hyperboloïde est le noyau de la forme linéaire :

x_{0}\mathrm {d} x_{0}-x_{1}\mathrm {d} x_{1}-\ldots -x_{n}\mathrm {d} x_{n}=0

Les formes linéaires $\mathrm {d} u_{0}$ , ..., $\mathrm {d} u_{n}$ étant liées par cette relation, la métrique locale de ce plan tangent est donnée par :

\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x_{1}^{2}+\ldots +\mathrm {d} x_{n}^{2}-\mathrm {d} x_{0}^{2}

Passage à d'autres modèles

On passe du modèle de l'hyperboloïde à un modèle sur une boule unité de deux façons possibles :

Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan $x_{0}=1$ à partir de l'origine du repère et on obtient le modèle de Klein. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des segments.
Ou bien on projette l'hyperboloïde sur le plan $x_{0}=0$ à partir du point (-1, 0, ..., 0) et on obtient le disque de Poincaré. Dans ce dernier modèle, les droites hyperboliques sont représentées par des arcs de cercles.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Hyperboloid model » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Bibliographie

(en) D. V. Alekseevskij, E. B. Vinberg et A. S. Solodovnikov, Geometry of Spaces of Constant Curvature, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Encyclopaedia of Mathematical Sciences », 1993 (ISBN 3-540-52000-7)
(en) James Anderson, Hyperbolic Geometry, Berlin, New York, Springer Verlag, coll. « Springer Undergraduate Mathematics Series », 2005, 2^e éd., 276 p. (ISBN 978-1-85233-934-0, lire en ligne)
John G. Ratcliffe, Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York, Springer Verlag, 1994, 747 p. (ISBN 978-0-387-94348-0, lire en ligne), chap. 3
(en) William F. Reynolds, « Hyperbolic geometry on a hyperboloid », American Mathematical Monthly,‎ 1993, 100:442–55
(en) Patrick J. Ryan, Euclidean and non-Euclidean geometry : An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney, Cambridge University Press, 1986 (ISBN 0-521-25654-2)
(en) V. Varićak, « On the Non-Euclidean Interpretation of the Theory of Relativity », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 21,‎ 1912, p. 103–127
(en) Scott Walter, The Symbolic Universe : Geometry and Physics, Oxford University Press, 1999, 91–127 p. (lire en ligne)