Andrica-sejtés

(a) Az ${\displaystyle A_{n}}$ függvény grafikonja az első 100 prímre.

(b) Az ${\displaystyle A_{n}}$ függvény grafikonja az első 200 prímre.

(c) Az ${\displaystyle A_{n}}$ függvény grafikonja az első 500 prímre.

Az Andrica-sejtés grafikus bizonyítása az első (a)100, (b)200, illetve (c)500 prímszámra. Az ${\displaystyle A_{n}}$ függvény mindig 1 alatt marad.

A számelmélet területén a Dorin Andrica román matematikusról elnevezett Andrica-sejtés a prímszámok közötti hézagokról szóló sejtés.^[1]

A sejtés állítása szerint a

${\displaystyle {\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}<1}$

egyenlőtlenség minden ${\displaystyle n}$-re teljesül, ahol ${\displaystyle p_{n}}$ az n-edik prímszám. Ha ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ jelöli az n-edik prímhézagot, akkor az Andrica-sejtés a következőképpen is megfogalmazható:

${\displaystyle g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Empirikus bizonyítékok

Imran Ghory a legnagyobb prímhézagokra vonatkozó adatok felhasználásával igazolta a sejtést egészen 1,3002 · 10¹⁶-ig.^[2] A fenti prímhézag-egyenlőtlenség és a táblázatok segítségével a sejtés egészen 4 · 10¹⁸-ig bizonyított.

Az ${\displaystyle A_{n}={\sqrt {p_{n+1}}}-{\sqrt {p_{n}}}}$ diszkrét függvény grafikonja a jobb oldalon látható. Az ${\displaystyle A_{n}}$ csúcsértékei n = 1, 2 és 4-nél találhatók; A₄ ≈ 0,670873..., aminél nincs nagyobb érték az első 10⁵ prím között. Mivel az Andrica-függvény értéke n növekedésével aszimptotikusan csökken, nagy n-eknél egyre nagyobb prímhézagra van szükség a különbség növeléséhez. Emiatt erősen valószínűnek tűnik, hogy a sejtés igaz, bár még nem sikerült bizonyítani.

Általánosításai

Az Andrica-sejtés egyszerű általánosítása a következő egyenlőség:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}=1,}$

ahol ${\displaystyle p_{n}}$ az n-edik prímszám, x pedig bármely pozitív valós szám lehet.

Az x legnagyobb lehetséges értéke nyilvánvalóan ${\displaystyle n=1}$-nél van, amikor x_max = 1. A sejtések szerint x-re a legkisebb megoldás x_min ≈ 0,567148... (A038458 sorozat az OEIS-ben), ami n = 30-nál teljesül.

Az általánosított Andrica-sejtést fel lehet írni egyenlőtlenség formájában is:

${\displaystyle p_{n+1}^{x}-p_{n}^{x}<1}$, ahol ${\displaystyle x<x_{\min }.}$

Kapcsolódó szócikkek

• Cramér-sejtés
• Legendre-sejtés
• Firoozbakht-sejtés

Jegyzetek

• Guy, Richard K.. Unsolved problems in number theory, 3rd, Springer-Verlag (2004). ISBN 978-0-387-20860-2 

További információk

• Andrica's Conjecture Archiválva 2007. július 11-i dátummal a Wayback Machine-ben at PlanetMath
• Generalized Andrica conjecture at PlanetMath
• Weisstein, Eric W.: Andrica's Conjecture (angol nyelven). Wolfram MathWorld