Diszkrét geometria

A diszkrét geometria metrikus és kombinatorikus szempontból vizsgálja különböző geometriai objektumok tulajdonságait és konstrukcióját. A legtöbb diszkrét geometriai kérdés elemi objektumok véges, vagy diszkrét halmazával foglalkozik, így pontokkal, körökkel, egyenesekkel, síkokkal, gömbökkel, sokszögekkel, és így tovább. A vizsgálat tárgya lehet például az, hogy hogy metszik egymást, vagy miképp lehet őket elrendezni úgy, hogy minél nagyobb területet fedjenek le.

A diszkrét geometria a matematika nemcsak relatíve új ága, de problémái is szerteágazóak; ezért sem magának, sem alágainak nincs teljesen szilárd felosztása és besorolása, módszertanilag is sokrétű, inkább a feladatok megfogalmazása, mintsem a megoldásuk során alkalmazott eljárások diszkrétek, mely utóbbiak elvezethetnek akár a dimenzióelméleti, akár analitikus vagy topológiai (mindkét esetben: folytonos) matematika területére, de nem ritkán a számelmélethez, kombinatorikához (mint pl. a gráfelmélet) vagy akár a lineáris algebra, ill. a nemeuklideszi geometriák világába is.

A diszkrét geometriának sok átfedése van a konvex geometriával és a komputergeometriával, és közeli kapcsolatban áll a véges geometriával, a kombinatorikus optimalizációval, a rácselmélettel, a diszkrét differenciálgeometriával, a geometrikus gráfelmélettel, a kombinatorikus topológiával és a tórikus geometriával (ami nem a tórusz geometriáját jelenti). A kombinatorikus geometria a diszkrét geometria alágának tekinthető, amikor nem metrikus, hanem számossági problémákon van a hangsúly.

Habár a poliédereket és tesszellációkat már régóta tanulmányozzák, pl. Kepler és Cauchy, a modern diszkrét geometria kezdetei a 19. század végére tehetők. Az első témák: a minél sűrűbb körpakolás (Thue), projektív konfigurációk (Reye és Steinitz), a számok geometriája (Minkowski), és térképszínezések (Tait, Heawood és Hadwiger).

Híres témák

Poliéderek és politópok

Poliéderes kombinatorika
Rácspolitópok
Erhart-polinomok
Pick-tétel
Hirsch-sejtés

Fedések, parkettázások és elhelyezések

Körelhelyezések
Gömbelhelyezések
Kepler-sejtés
Kvázikristályok
Nem periodikus csempézés
Periodikus gráfok

Merevség és hajlékonyság

Csuklós sokszögek
Cauchy tétele

Illeszkedési struktúrák

Konfigurációk
Egyenesek és hipersíkok elrendezései

Irányított matroidok
Geometrikus gráfelmélet

Gráfok beágyazása
Poliédergráfok
Voronoj-diagramok és Delaunay-felosztások

Szimpliciális komplexusok
Topologikus kombinatorika

Sperner-lemma
Zárt felületek szimmetrikus felosztása

Rácsok és diszkrét csoportok

Tükrözéssel generált csoportok
Háromszögcsoportok

Digitális geometria
Diszkrét differenciálgeometria
Geometrikus halmazfelosztás és transzverzálisok

Források

Bezdek András; Włodzimierz Kuperberg. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. New York, N.Y: Marcel Dekker (2003). ISBN 0-8247-0968-3
Bezdek Károly. Classical Topics in Discrete Geometry. New York, N.Y: Springer (2010). ISBN 978-1-4419-0599-4
Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer (2005). ISBN 0-387-23815-8
Goodman, Jacob E. O’Rourke, Joseph. Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC (2004). ISBN 1-58488-301-4
Gruber, Peter M.. Convex and Discrete Geometry. Berlin: Springer (2007). ISBN 3-540-71132-5
Matoušek, Jiří. Lectures on discrete geometry. Berlin: Springer (2002). ISBN 0-387-95374-4
Vlagyimir Boltyanszkij, Horst Martini, Petru Soltan. Excursions into Combinatorial Geometry. Springer (1997). ISBN 3-540-61341-2