Esetszétválasztás szabálya

Az esetszétválasztás szabálya a matematikai bizonyítások egyik módszere. Lényegében egy elméleten belül állítások igazságára más, már meglévő állításokból következtetni.

A szétválasztás során ha két állítás közül valamelyik igaz, akkor a bármelyikükből következő állítás szükségszerűen igaz lesz.

Állítás

Legyen ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ valamilyen matematikai elmélet, és ennek formulái A, B és C. Ha ${\displaystyle A\vee B,\,A\Rightarrow C,\,B\Rightarrow C}$ tételek ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$-ben, akkor C is tétel benne.

Bizonyítás

Mivel ${\displaystyle B\Rightarrow C}$ tétel, ezért a ${\displaystyle (B\Rightarrow C)\Rightarrow ((A\vee B)\Rightarrow (A\vee C))}$ logikai formulából a leválasztás szabálya alapján az ${\displaystyle (A\vee B)\Rightarrow (A\vee C)}$ is tétel. Mivel ${\displaystyle (A\vee C)\Rightarrow (C\vee A)}$ logikai formula, a láncszabály alapján ${\displaystyle (A\vee B)\Rightarrow (C\vee A)}$ is tétel. Mivel ${\displaystyle (A\vee C)\Rightarrow ((C\vee A)\Rightarrow (C\vee C))}$ logikai formula, aminek feltétele tétel, ezért a leválasztás szabályát újból alkalmazva kapjuk, hogy ${\displaystyle (C\vee A)\Rightarrow (C\vee C)}$ tétel, ebből pedig ugyanígy adódik, hogy ${\displaystyle (C\vee C)}$ is tétel, és így a ${\displaystyle (C\vee C)\Rightarrow C}$ formula alapján C is tétel.^[1]

Források