Háromnégyzetszám-tétel

A háromnégyzetszám-tétel azt állítja, hogy egy n pozitív egész akkor és csak akkor nem áll elő három négyzetszám összegeként, ha n = 4 k ( 8 m + 7 ) {\displaystyle n=4^{k}(8m+7)} alakú.

A tételre Legendre egy nem teljes bizonyítást adott 1798-ban. Az első teljes bizonyítást Gauss írta le Disquisitiones Arithmeticae című 1801-ben megjelent könyvében.

A tétel alkalmazása

A tételből levezethető, hogy minden természetes szám három háromszögszám összege, ahol háromszögszámoknak a 0, 1, 3, 6, 10,…, tehát az n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle n(n+1)/2} alakú számokat nevezzük. Valóban, az

n = a ( a + 1 ) 2 + b ( b + 1 ) 2 + c ( c + 1 ) 2 {\displaystyle n={\frac {a(a+1)}{2}}+{\frac {b(b+1)}{2}}+{\frac {c(c+1)}{2}}}

egyenlőség 8-cal való szorzással és mindkét oldalhoz 3 hozzáadásával átalakítható a következővé:

8 n + 3 = ( 2 a + 1 ) 2 + ( 2 b + 1 ) 2 + ( 2 c + 1 ) 2 . {\displaystyle 8n+3=(2a+1)^{2}+(2b+1)^{2}+(2c+1)^{2}.}

Fenti tételünkből adódik, hogy minden 8 n + 3 {\displaystyle 8n+3} alakú szám három négyzetszám összege, azt kell belátnunk, hogy az összeadandók ekkor szükségképpen páratlanok. Mivel páros szám négyzete 8-cal osztva 0 vagy 4 maradékot ad, páratlané pedig 1-et, a 8-cal vett 3-as maradékot csak úgy kaphatjuk meg, ha minden összeadandó páratlan.

A tétel bizonyítása

Állítás: Az n = 4 k ( 8 m + 7 ) {\displaystyle n=4^{k}(8m+7)} alakú számok nem állnak elő három négyzetszám összegeként

A bizonyításhoz teljes indukciót használunk mégpedig k-ra. Először belátjuk hogy k=0 esetén nem állítható elő, azaz 8m+7 számok nem írhatók fel három négyzetszám összegeként. Egy négyzetszám nyolccal osztva maradékul nullát, egyet vagy négyet ad, ezek közül semelyik három összege nem ad hetet maradékul. Tegyük fel hogy k-ig igaz az állítás. Bizonyítsuk k-ra. Indirekt módon tegyük fel hogy létezik olyan n = 4 k ( 8 m + 7 ) {\displaystyle n=4^{k}(8m+7)} alakú szám ami előáll három négyzetszám összegeként, vagyis létezik x, y, z hogy: 4 k ( 8 m + 7 ) = x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle 4^{k}(8m+7)=x^{2}+y^{2}+z^{2}} . 4 k ( 8 m + 7 ) {\displaystyle 4^{k}(8m+7)} osztható néggyel tehát x 2 + y 2 + z 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}} is, ami csak úgy lehet hogy x, y, z mindegyike páros. De ekkor az egyenlet mindkét oldalát néggyel osztva kapjuk hogy: 4 k − 1 ( 8 m + 7 ) = ( x 2 ) 2 + ( y 2 ) 2 + ( z 2 ) 2 {\displaystyle 4^{k-1}(8m+7)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{2}}\right)^{2}} , de ez ellentmond az indukciós feltétellel mivel ( x 2 ) , ( y 2 ) , ( z 2 ) {\displaystyle \left({\frac {x}{2}}\right),\left({\frac {y}{2}}\right),\left({\frac {z}{2}}\right)} pozitív egészek.

A másik irány bizonyítása jóval nehezebb.

Kapcsolódó szócikkek

Ez a matematikai tárgyú lap egyelőre csonk (erősen hiányos). Segíts te is, hogy igazi szócikk lehessen belőle!