Hasonlóság (mátrixok)

Két n × n {\displaystyle n\times n} mátrix A {\displaystyle A} és B {\displaystyle B} akkor hasonló, ha létezik egy invertálható n × n {\displaystyle n\times n} mátrix P {\displaystyle P} , ami teljesíti a következő egyenletet:

B = P − 1 A P {\displaystyle B=P^{-1}AP} .

A P {\displaystyle P} mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.

A hasonlóságot helyenként A ≅ B {\displaystyle A\cong B} vagy A ∼ B {\displaystyle A\sim B} módon jelölik.

Tulajdonságok

A hasonlóság egy ekvivalenciareláció:

  • Reflexív: minden mátrix saját magához hasonló A ≅ A {\displaystyle A\cong A} .
    Bizonyítás: A = I n − 1 A I n {\displaystyle A=I_{n}^{-1}AI_{n}} , ahol I n {\displaystyle I_{n}} az egységmátrixot jelöli.
  • Szimmetrikus: ha A ≅ B {\displaystyle A\cong B} , akkor B ≅ A {\displaystyle B\cong A} .
    Bizonyítás: B = P − 1 A P → P B = A P → P B P − 1 = A {\displaystyle B=P^{-1}AP\rightarrow PB=AP\rightarrow PBP^{-1}=A}
  • Tranzitív: ha A ≅ B {\displaystyle A\cong B} és B ≅ C {\displaystyle B\cong C} akkor A ≅ C {\displaystyle A\cong C} .
    Bizonyítás: B {\displaystyle B} kifejezhető mint B = P 1 − 1 A P 1 {\displaystyle B=P_{1}^{-1}AP_{1}} és C {\displaystyle C} mit C = P 2 − 1 B P 2 {\displaystyle C=P_{2}^{-1}BP_{2}} . C {\displaystyle C} újraírható mint C = P 2 − 1 P 1 − 1 A P 1 P 2 {\displaystyle C=P_{2}^{-1}P_{1}^{-1}AP_{1}P_{2}} . Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben P = P 1 P 2 {\displaystyle P=P_{1}P_{2}} .

Ha két mátrix A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} hasonló A ≅ B {\displaystyle A\cong B} , akkor

  • A rangok azonosak: r a n g A = r a n g B {\displaystyle \mathrm {rang} A=\mathrm {rang} B} .
    Bizonyítás: a kifejezés B = P − 1 A P {\displaystyle B=P^{-1}AP} átírható mint P B = A P {\displaystyle PB=AP} . Mivel P {\displaystyle P} invertálható, ezért a rangja n {\displaystyle n} .
r a n g ( P B ) = r a n g ( A P ) r a n g B = r a n g A {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rang} (PB)&=\mathrm {rang} (AP)\\\mathrm {rang} B&=\mathrm {rang} A\end{aligned}}}
  • A determinánsok azonosak: det A = det B {\displaystyle \det A=\det B} .
    Bizonyítás:
det B = det ( P − 1 A P ) = det P − 1 det A det P = ( det P ) − 1 det A det P = det A {\displaystyle {\begin{aligned}\det B&=\det(P^{-1}AP)\\&=\det P^{-1}\det A\det P=(\det P)^{-1}\det A\det P\\&=\det A\end{aligned}}}
  • A nyomok azonosak: t r A = t r B {\displaystyle \mathrm {tr} A=\mathrm {tr} B} .
    Bizonyítás:
t r B = t r ( P − 1 A P ) = t r ( P P − 1 A ) = t r ( I n A )  (A nyomok ciklikus tulajdonsága) = t r A {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tr} B&=\mathrm {tr} (P^{-1}AP)\\&=\mathrm {tr} (PP^{-1}A)=\mathrm {tr} (I_{n}A){\text{ (A nyomok ciklikus tulajdonsága)}}\\&=\mathrm {tr} A\end{aligned}}}
  • A karakterisztikus polinomok azonosak: p A ( t ) = p B ( t ) {\displaystyle p_{A}(t)=p_{B}(t)} .
    Bizonyítás:
p B ( t ) = det ( t I n − B ) = det ( P − 1 t I n P − P − 1 A P ) = det ( P − 1 ( t I n − A ) P ) = det P − 1 det ( t I n − A ) det P = ( det P ) − 1 det ( t I n − A ) det P = det ( t I n − A ) = p A ( t ) {\displaystyle {\begin{aligned}p_{B}(t)&=\det(tI_{n}-B)\\&=\det(P^{-1}tI_{n}P-P^{-1}AP)\\&=\det(P^{-1}(tI_{n}-A)P)\\&=\det P^{-1}\det(tI_{n}-A)\det P=(\det P)^{-1}\det(tI_{n}-A)\det P\\&=\det(tI_{n}-A)=p_{A}(t)\end{aligned}}}
  • Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.
  • Jordan-féle normálformák azonosak.

Példa

A két 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} mátrix A = [ 2 3 0 4 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3\\0&4\end{bmatrix}}} és B = [ 3 4 1 4 3 ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}3&4\\{\frac {1}{4}}&3\end{bmatrix}}} hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben P = [ 3 0 1 4 ] {\displaystyle P={\begin{bmatrix}3&0\\1&4\end{bmatrix}}} .

B = P − 1 A P = [ 1 3 0 − 1 12 1 4 ] [ 2 3 0 4 ] [ 3 0 1 4 ] = [ 3 4 1 4 3 ] {\displaystyle {\begin{aligned}B&=P^{-1}AP={\begin{bmatrix}{\frac {1}{3}}&0\\-{\frac {1}{12}}&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&3\\0&4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&0\\1&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\{\frac {1}{4}}&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

  • Rang
    • r a n g A = 2 {\displaystyle \mathrm {rang} A=2}
    • r a n g B = 2 {\displaystyle \mathrm {rang} B=2}
  • Determináns
    • det A = 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ 0 = 8 {\displaystyle \det A=2\cdot 4-3\cdot 0=8}
    • det B = 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ 1 4 = 8 {\displaystyle \det B=3\cdot 3-4\cdot {\frac {1}{4}}=8}
  • Nyom
    • t r A = 2 + 4 = 6 {\displaystyle \mathrm {tr} A=2+4=6}
    • t r B = 3 + 3 = 6 {\displaystyle \mathrm {tr} B=3+3=6}
  • Karakterisztikus polinom
    • p A ( t ) = ( 2 − t ) ( 4 − t ) − 3 ⋅ 0 = t 2 − 6 t + 8 {\displaystyle p_{A}(t)=(2-t)(4-t)-3\cdot 0=t^{2}-6t+8}
    • p B ( t ) = ( 3 − t ) ( 3 − t ) − 4 ⋅ 1 4 = t 2 − 6 t + 8 {\displaystyle p_{B}(t)=(3-t)(3-t)-4\cdot {\frac {1}{4}}=t^{2}-6t+8}

Források

  • Freud Róbert: Lineáris algebra. ISBN 9634634710  
  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK §2