Konüs-index

A Konüs-index Alekszandr Alekszandrovics Konüs orosz közgazdász által kidolgozott elméleti árindex. Alapja hogy az árváltozásokat a felhasználó gazdaságossági referenciái alapján számolja. Az axiomatikus árindexektől eltérően nem tételezi fel, hogy az árak és mennyiségek a különböző idő intervallumokban független változók. Gyakorlatban árindexszámításra ezt az indexet nem használják, viszont az árindexek számításának elméletére nagy hatása volt.

Elméleti alapok

Az indexszám gazdaságossági megközelítésének elméleti alapja, hogy különböző háztartások esetén a megvásárolt, elfogyasztott mennyiségek különböző gazdasági megfontolásoktól függenek. Ezt a hozzáállást magyarázza, hogy a vásárlók igyekeznek lehetőség szerint akkor beszerezni javaikat amikor azok ára a legalacsonyabb azaz igyekeznek optimalizálni fogyasztásukat.

Az elmélet a gazdasági szereplők (vevők vagy eladók) optimalizációs viselkedésén nyugszik. Legyen egy meghatározott ${\displaystyle t}$ időperiódusban ${\displaystyle p_{t}}$ a háztartás által felhasznált az áruk árának vektora. Tételezzük fel, létezik a felhasznált mennyiségek ${\displaystyle q_{t}}$ vektora is ez az ${\displaystyle f^{1}}$ függvénynek minimalizálása révén határozható meg. Az ${\displaystyle f^{1}}$ a fogyasztó preferenciáinak vagy más néven az áruk hasznosságnak a függvénye.

Az indexszám elmélet axiomatikus megközelítésével szemben, a gazdaságossági hozzáállás esetén nem tételezhetjük fel, hogy a ${\displaystyle q_{0}}$ és ${\displaystyle q_{1}}$ mennyiségi vektorok függetlenek a ${\displaystyle p_{0}}$ és ${\displaystyle p_{1}}$ árvektoroktól. A ${\displaystyle 0}$-ik időperiódusban a ${\displaystyle q_{0}}$ mennyiségi vektort a fogyasztó ${\displaystyle f}$ preferencia függvénye és a ${\displaystyle 0}$-ik időperiódus ${\displaystyle p_{0}}$ ár vektora határozza meg. Az ${\displaystyle 1}$-ik időperiódusban a ${\displaystyle q_{1}}$ mennyiségi vektort szintén a fogyasztó ${\displaystyle f}$ preferencia függvénye és a ${\displaystyle 1}$-ik időperiódus ${\displaystyle p_{1}}$ árai határozzák meg. Feltételezhető, hogy a fogyasztó az ${\displaystyle n}$ darab fogyasztási cikk különböző kombinációját illetően jól definiált preferencia rendszerrel rendelkezik. Minden kombináció reprezentálható egy ${\displaystyle q=[q_{1}...q_{n}]}$ mennyiségvektorral a fogyasztó különböző lehetséges ${\displaystyle q}$ fogyasztási vektorai előállíthatók egy folytonos nem csökkenő haszonfüggvény ${\displaystyle f}$ segítségével. Ha ${\displaystyle f(q^{1})>f(q^{0})}$, akkor a fogyasztó a ${\displaystyle q^{0}}$ mennyiségvektorral szembe a ${\displaystyle q^{1}}$ mennyiségvektort részesíti előnybe. A továbbiakban feltételezzük hogy a fogyasztó igyekszik minimalizálni költségeit a ${\displaystyle t=0,1}$ periódusban az ${\displaystyle u^{t}\equiv f(q^{t})}$ hasznossági szinten. Ez azt jelenti, hogy a ${\displaystyle q^{t}}$ fogyasztási vektorra a következő költségminimalizálási feladatot kell megoldani

${\displaystyle C(u^{t},p^{t})\equiv \min _{q}\left\{\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{t}q_{i}:f(q)=u^{t}\equiv f(q^{t})\right\}}$ a vizsgált ${\displaystyle t}$ periódusban.

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}p_{i}^{t}q_{i}^{t}}$ ahol ${\displaystyle t=0,1}$

A ${\displaystyle t}$ periódus ${\displaystyle n}$ árura vetített árvektora ${\displaystyle p^{t}}$. A ${\displaystyle C(u,p)}$ függvény a fogyasztói költségfüggvény. Konüs megélhetési árindexében ezt a költségfüggvényt használjuk.

a Konüs megélhetési árindexeket a megélhetési költségek minimumának hányadosaként definiáljuk két olyan 0 és 1 periódusra, ahol a fogyasztó szigorúan pozitív ${\displaystyle p^{0}\equiv (p_{1}^{0},...,p_{n}^{0})}$ és ${\displaystyle p^{1}\equiv (p_{1}^{1},...,p_{n}^{1})}$ árvektorral áll szemben, és azonos haszonfüggvényt ${\displaystyle u\equiv f(q)}$. pozitív referencia mennyiségvektort ${\displaystyle q=[q_{1},...,q_{n}]}$ feltételezve, a Konüs-index képlete a következő.

${\displaystyle P_{K}(p^{0},p^{1},q)={\frac {C(f(q),p^{1})}{C(f(q),p^{0})}}}$

Könnyen belátható, hogy a Konüs-index értéke azonos adatokkal számolva a nagyobb egyenlő mint a Laspeyres-index

${\displaystyle P_{Laspeyres}^{t}={\frac {p^{t}\cdot q^{o}}{p^{o}\cdot q^{o}}}\geq {\frac {C(p^{t},u^{o})}{C(p^{o},u^{o})}}={\frac {C(p^{t},u^{o})}{p^{o}\cdot q^{o}}}=P_{K}^{t}(u^{o})}$

és kisebb egyenlő mint a Paasche-index.

${\displaystyle P_{Paasche}^{t}={\frac {p^{t}\cdot q^{t}}{p^{o}\cdot q^{t}}}\leq {\frac {C(p^{t},u^{t})}{C(p^{o},u^{t})}}={\frac {p^{t}\cdot q^{t}}{C(p^{o},u^{t})}}=P_{K}^{t}(u^{t})}$

Források

• Essays in Index Number Theory, Volume I, W.E. Diewert and A.O. Nakamura, Elsevier Science Publishers, 1993. ISBN 9780444874719
• Practical Guide to Producing Consumer Price Indices UNITED NATIONS. New York és Genf, 2009