Megoldóképlet

A megoldóképlet az n-edfokú

a n ⋅ x n + a n − 1 ⋅ x n − 1 + . . . + a 1 ⋅ x + a 0 = 0       ( a n ≠ 0 )   {\displaystyle a_{n}\cdot x^{n}+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+...+a_{1}\cdot x+a_{0}=0~~~(a_{n}\neq 0)~}

algebrai egyenlet megoldásait (gyökeit) szolgáltató algoritmus, mely véges sok lépésben véget érő és csak az algebrai műveleteket (a négy alapműveletet és a gyökvonást) használja.

Iteratív megoldások, melyek a gyököket tetszőleges pontossággal megközelítik nem tekintendők „megoldóképletnek”. A gyakorlatban sokszor kielégítő a közelítő megoldás. Ilyen közelítő megoldások régóta ismeretesek (például Al-Kásié (?-1429) vagy a Bernoulli–Lobacsevszkij–Graeffe-féle gyökhatványozó eljárás.

Először Carl Friedrich Gauss (1777-1855) bizonyította szabatosan az algebra alaptételét, mely szerint az n-edfokú egyenletnek pontosan n megoldása van. A megoldások nem feltétlenül mind valósak. Az n-edfokú egyenlet általában csak a komplex számkörben oldható meg.

Megoldóképletek

Elsőfokú egyenlet

Az a x + b = 0 {\displaystyle ax+b=0} alakú elsőfokú egyenlet esetében

az x = − b a {\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}} megoldóképlet adja meg a megoldást.

Másodfokú egyenlet

Bővebben: másodfokú egyenlet

Az a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} alakú másodfokú egyenlet megoldóképlete:

x 1 , 2 = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} .

A másodfokú egyenlet diszkriminánsa: D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac}

A másodfokú egyenlet megoldóképletét először, a mai alakhoz hasonló egységes formában (a felesleges, együtthatókkal kapcsolatos esetszétválasztások nélkül) Michael Stifel (1487-1567) írta fel, bár a mainál sokkal esetlenebb jelölésekkel.

Harmadfokú egyenlet

a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}

A harmadfokú esetre elméletben legalábbis a Girolamo Cardano (1501-1576) nevét viselő úgynevezett Cardano-képlet használható. A Cardano-képlet a következő:

x 1 = − b 3 a − − b 2 + 3 a c 3 3 a ⋅ − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d + 4 ( − b 2 + 3 a c ) 3 + ( − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d ) 2 3 + − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d + 4 ( − b 2 + 3 a c ) 3 + ( − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d ) 2 3 3 a ⋅ 2 3 {\displaystyle x_{1}=-{\frac {b}{3a}}-{\frac {\sqrt[{3}]{-b^{2}+3ac}}{3a\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}}+{\frac {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}{3a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}} x 2 = − b 3 a + ( 1 + i 3 ) ( − b 2 + 3 a c ) 3 a ⋅ 2 2 / 3 ⋅ − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d + 4 ( − b 2 + 3 a c ) 3 + ( − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d ) 2 3 − ( 1 − i 3 ) ⋅ − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d + 4 ( − b 2 + 3 a c ) 3 + ( − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d ) 2 3 6 a ⋅ 2 3 {\displaystyle x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {(1+i{\sqrt {3}})(-b^{2}+3ac)}{3a\cdot 2^{2/3}\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}}-{\frac {(1-i{\sqrt {3}})\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}{6a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}} x 3 = − b 3 a + ( 1 − i 3 ) ( − b 2 + 3 a c ) 3 a ⋅ 2 2 / 3 ⋅ − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d + 4 ( − b 2 + 3 a c ) 3 + ( − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d ) 2 3 − ( 1 + i 3 ) ⋅ − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d + 4 ( − b 2 + 3 a c ) 3 + ( − 2 b 3 + 9 a b c − 27 a 2 d ) 2 3 6 a ⋅ 2 3 {\displaystyle x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {(1-i{\sqrt {3}})(-b^{2}+3ac)}{3a\cdot 2^{2/3}\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}}-{\frac {(1+i{\sqrt {3}})\cdot {\sqrt[{3}]{-2b^{3}+9abc-27a^{2}d+{\sqrt {4(-b^{2}+3ac)^{3}+(-2b^{3}+9abc-27a^{2}d)^{2}}}}}}{6a\cdot {\sqrt[{3}]{2}}}}}

A harmadfokú egyenlet valós megoldásait a megoldóképlettel csak úgy találhatjuk meg, ha a számítás során kilépünk a valós számkörből és, ha csak átmenetileg is, de belépünk a komplex számok világába. A harmadfokú egyenlet megoldásának ennélfogva igen nagy a tudománytörténeti jelentősége.

Negyedfokú egyenlet

A negyedfokú esetre a megoldóképlet Cardano tanítványától, Ludovico Ferraritól származik. Az ő módszere a teljes négyzetté alakítás volt. Egy évszázad múlva René Descartes Értekezés a módszerről című művében közölt zárt képletének alapja két másodfokú polinom szorzata volt, ahol a két elsőfokú tag egymás inverze volt (ti. így kiesik a harmadfokú tag).

A negyedfokú egyenlet megoldóképlete csak egy érdektelen részlet a matematikatörténetben a harmad- és az ötödfokú egyenlet megoldóképletéhez képest.

A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari szerint

Az x 4 + a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} negyedfokú egyenlet megoldását Ludovico Ferrari (1522–1565) két másodfokú egyenlet megoldására vezette vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni.

A harmadfokú egyenlet: y 3 + 3 p y + 2 q = 0 {\displaystyle y^{3}+3py+2q=0} , ahol

3 p = a c 4 − b 2 12 − d {\displaystyle 3p={\frac {ac}{4}}-{\frac {b^{2}}{12}}-d}

2 q = a b c 24 − a 2 d 8 − b 3 108 + b d 3 − c 2 8 {\displaystyle 2q={\frac {abc}{24}}-{\frac {a^{2}d}{8}}-{\frac {b^{3}}{108}}+{\frac {bd}{3}}-{\frac {c^{2}}{8}}} .

Megoldása a Cardano-képlettel történik. z-t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós y megoldásához b/6-ot hozzáadjuk: z = y + b/6. A másodfokú egyenletek:

x 2 + ( a / 2 + a 2 / 4 − b + 2 z ) ⋅ x + z ± z 2 − d = 0 {\displaystyle x^{2}+(a/2+{\sqrt {a^{2}/4-b+2z}})\cdot x+z\pm {\sqrt {z^{2}-d}}=0}

x 2 + ( a / 2 − a 2 / 4 − b + 2 z ) ⋅ x + z ∓ z 2 − d = 0 {\displaystyle x^{2}+(a/2-{\sqrt {a^{2}/4-b+2z}})\cdot x+z\mp {\sqrt {z^{2}-d}}=0}

Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha a z − c < 0 {\displaystyle az-c<0} .

Ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek

Niels Henrik Abel (1802-1829) bebizonyította, hogy az ötödfokú esetben nem található megoldóképlet. Ez nem azt jelenti, hogy nincs megoldás, hanem, hogy nincs olyan véges lépés után véget érő számítási eljárás, amely csak a négy algebrai műveletet továbbá a gyökvonást használja és általános módszert szolgáltatna a gyökök megkeresésére (azaz minden egyenlet esetén ugyanazzal az eljárással előállíthatnánk a gyököket). Később Évariste Galois (1811-1832) megmutatta, hogy az ötnél magasabb fokú esetekben sem létezik megoldóképlet.

Források

  • Sain Márton: „Matematikatörténeti ABC”, Tankönyvkiadó, 1978.
  • „Nincs királyi út”, Gondolat, 1986.

További információk

  • A megalázott géniusz, YOUPROOF* Online másodfokú egyenlet megoldó és számológép
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap