Paralelogrammaazonosság

Egy (V, ||.|| ) normált vektortérben paralelogrammaazonosságnak nevezzük a következő formulát:

$\forall f,g\in V:||f+g||^{2}+||f-g||^{2}=2||f||^{2}+2||g||^{2}\;$

A formális azonosság geometriai elnevezése arra az analógiára utal, hogy a kétdimenziós euklideszi térben bármely paralelogrammában az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik a oldalak hosszának négyzetösszegével.

Az azonosságot teljesítő normált terek

Nem minden normált térben igaz az azonosság. Ellenben minden skalárszorzatos V tér esetén az ||x||:=<x,x> generált normával ellátva V paralelogrammaazonosságos tér. A megfordítás is igaz: Ha ||.|| olyan norma V felett, mellyel teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor ||.|| segítségével definiálható V-n skalárszorzat (ez a Neumann-Jordan-tétel).

A paralelogrammaazonosságnak nagy jelentősége van az absztrakt függvényterek tárgyalásánál. Megmutatható például, hogy egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér, ha teljesül benne a paralelogrammaazonosság.

Hivatkozások

Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972
Mikolás Miklós, Valós függvénytan és ortogonális sorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978