Q-függvény

A matematikában és a statisztikában a Q-függvény a normális eloszlás farok valószínűsége.[1][2]

Q-függvény

Más szavakkal, Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} annak a valószínűsége, hogy egy normális eloszlású változó nagyobb értéket vesz fel, mint x {\displaystyle x} . Egy másik definíció szerint a kumulatív eloszlás függvény egyszerű transzformáltja. [3] A normális eloszlás kumulatív eloszlási függvényéhez való kapcsolata miatt, a Q-függvény a hibafüggvény – mely fontos függvény a fizikában és a matematikában - kifejezéseivel is leírható.

Definíció és fő tulajdonságok

Formálisan, a Q-függvény definíciója:

Q ( x ) = 1 2 π ∫ x ∞ exp ⁡ ( − u 2 2 ) d u . {\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{x}^{\infty }\exp {\Bigl (}-{\frac {u^{2}}{2}}{\Bigr )}\,du.}

így:

Q ( x ) = 1 − Q ( − x ) = 1 − Φ ( x ) , {\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)=1-\Phi (x)\,\!,}

ahol Φ ( x ) {\displaystyle \Phi (x)} a normal Gauss eloszlás kumulatív eloszlás függvénye. A Q-függvény a hiba-függvény, vagy a komplementer hiba-függvény kifejezéseivel is leírható,[2]

Q ( x ) = 1 2 − 1 2 erf ⁡ ( x 2 ) = 1 2 erfc ⁡ ( x 2 ) . {\displaystyle Q(x)={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} {\Bigl (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Bigr )}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {erfc} ({\frac {x}{\sqrt {2}}}).}

A Q-függvény egy alternatív formája, mely jobban használható: [4]

Q ( x ) = 1 π ∫ 0 π 2 exp ⁡ ( − x 2 2 sin 2 ⁡ θ ) d θ . {\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sin ^{2}\theta }}\right)d\theta .}

Ez a kifejezés csak pozitív x {\displaystyle x} -ekre érvényes, de alkalmazható a Q ( x ) = 1 − Q ( − x ) {\displaystyle Q(x)=1-Q(-x)\,\!} kifejezéssel együtt, a negatív értékekre. Ez a forma előnyös a véges integrálási tartományban.

Határok

A Q-függvény nem egy elemi függvény. A határai

x 1 + x 2 ⋅ 1 2 π e − x 2 / 2 < Q ( x ) < 1 x ⋅ 1 2 π e − x 2 / 2 , x > 0 , {\displaystyle {\frac {x}{1+x^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}<Q(x)<{\frac {1}{x}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},\qquad x>0,}

növekvő módon szorosak nagy x-ekre

A v = u 2 / 2 {\displaystyle v=u^{2}/2} behelyettesítést alkalmazva, és definiálva φ ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 , {\displaystyle \varphi (x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2},} , a felső határ a következőképpen származtatható:

Q ( x ) = ∫ x ∞ φ ( u ) d u < ∫ x ∞ u x φ ( u ) d u = ∫ x 2 / 2 ∞ e − v x 2 π d v = − e − v x 2 π | x 2 / 2 ∞ = φ ( x ) x . {\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&=\int _{x}^{\infty }\varphi (u)\,du\\&<\int _{x}^{\infty }{\frac {u}{x}}\varphi (u)\,du=\int _{x^{2}/2}^{\infty }{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\,dv=-{\biggl .}{\frac {e^{-v}}{x{\sqrt {2\pi }}}}{\biggr |}_{x^{2}/2}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}

Hasonlóan a φ ′ ( u ) = − u φ ( u ) {\displaystyle \scriptstyle \varphi '(u)\,{=}\,-u\,\varphi (u)} -t, és a hányadosszabályt használva

( 1 + 1 x 2 ) Q ( x ) = ∫ x ∞ ( 1 + 1 x 2 ) φ ( u ) d u > ∫ x ∞ ( 1 + 1 u 2 ) φ ( u ) d u = − φ ( u ) u | x ∞ = φ ( x ) x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}Q(x)&=\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{x^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du\\&>\int _{x}^{\infty }{\Bigl (}1+{\frac {1}{u^{2}}}{\Bigr )}\varphi (u)\,du=-{\biggl .}{\frac {\varphi (u)}{u}}{\biggr |}_{x}^{\infty }={\frac {\varphi (x)}{x}}.\end{aligned}}}

Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} -re megoldva, adódik az alsó határ.

A Q-függvény Chernov-korlátja:

Q ( x ) ≤ 1 2 e − x 2 2 , x > 0 {\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)\leq {\frac {1}{2}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}},\qquad x>0\end{aligned}}}

Értékek

A Q-függvényt számos matematikai szoftver csomag közvetlenül számítja, mint például a Matlab, és a Mathematica. Néhány Q-függvény érték az alábbiakban látható:

Q(0.0) = 0.500000000
Q(0.1) = 0.460172163
Q(0.2) = 0.420740291
Q(0.3) = 0.382088578
Q(0.4) = 0.344578258
Q(0.5) = 0.308537539
Q(0.6) = 0.274253118
Q(0.7) = 0.241963652
Q(0.8) = 0.211855399
Q(0.9) = 0.184060125

Q(1.0) = 0.158655254
Q(1.1) = 0.135666061
Q(1.2) = 0.115069670
Q(1.3) = 0.096800485
Q(1.4) = 0.080756659
Q(1.5) = 0.066807201
Q(1.6) = 0.054799292
Q(1.7) = 0.044565463
Q(1.8) = 0.035930319
Q(1.9) = 0.028716560

Q(2.0) = 0.022750132
Q(2.1) = 0.017864421
Q(2.2) = 0.013903448
Q(2.3) = 0.010724110
Q(2.4) = 0.008197536
Q(2.5) = 0.006209665
Q(2.6) = 0.004661188
Q(2.7) = 0.003466974
Q(2.8) = 0.002555130
Q(2.9) = 0.001865813

Q(3.0) = 0.001349898
Q(3.1) = 0.000967603
Q(3.2) = 0.000687138
Q(3.3) = 0.000483424
Q(3.4) = 0.000336929
Q(3.5) = 0.000232629
Q(3.6) = 0.000159109
Q(3.7) = 0.000107800
Q(3.8) = 0.000072348
Q(3.9) = 0.000048096
Q(4.0) = 0.000031671

Irodalom

  • Reiman istván: Matematika. (hely nélkül): Typotex Kft. 2011. ISBN 9789632793009  
  • Gerőcs L. - Dr.Vancsó Ödön: Matematika. (hely nélkül): Akadémia Kiadó Zrt. 2010. ISBN 9789630584883  

További információk

Források

  1. ↑ The Q-function, from cnx.org
  2. ↑ a b Basic properties of the Q-function. [2009. március 25-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. március 3.)
  3. ↑ Normal Distribution Function - from Wolfram MathWorld
  4. ↑ An alternative form of the Q-function has been derived in this paper.. [2012. április 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2012. március 3.)

Külső hivatkozások

  • http://cnx.org/content/m11537/latest/
  • https://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf
  • http://mathworld.wolfram.com/NormalDistributionFunction.html
  • https://web.archive.org/web/20120403231129/http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf
  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap