Reciprokrács

A szilárdtestfizikában reciprokrácsnak nevezzük azt a rácsot, melyet egy direkt térbeli rács (például egy Bravais-rács) Fourier-transzformálásával kapunk. A direkt rács jellemzően pontok periodikus szerkezete a valós térben, mely a kristály geometriai absztrakciója, míg a reciprokrács a reciproktérben (más kifejezéssel momentumtérben, hullámszámtérben vagy k-térben) adható meg. A reciprokrács reciprokrácsa (a Fourier-transzformáció jellemzőiből adódóan) maga a direkt rács.

A reciprokrács nem pusztán elméleti konstrukció, az anyagtudományban és a kristálytanban igen gyakran meghatározzák. Gyakori példák a diffrakciós kísérletek értelmezése a reciprokrács segítségével, az Ewald-szerkesztés, a rácssíkok, irányok jellemzése Miller-indexekkel, stb.

Matematikai háttér

Tekintsük az R direkttérbeli rácsvektorok által kijelölt R pontokat, melyek egy Bravais-rácsot alkotnak. Egy síkhullám hullámegyenlete ekkor:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }=\cos {(\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} )}+i\sin {(\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} )}}$.

Ha ennek a síkhullámnak a periódusa megegyezik a Bravais-rács periódusával, akkor érvényes a következő egyenlet:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {(r+R)} }=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}$,

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }\cdot e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}$,

${\displaystyle \Rightarrow e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$.

Megadhatjuk a reciprokrácsot azon K vektorok halmazaként, melyek teljesítik a fenti összefüggést az összes R direktrács-vektorral. A reciprokrács szintén Bravais-rács lesz, melynek reciproka ismét visszaadja a direkt rácsot.

Egy ${\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} )}$ primitív rácsvektorokkal megadott végtelen kétdimenziós rács reciprokrácsának rácsvektorai az alábbiak szerint fejezhetők ki:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {({\hat {x}}\otimes {\hat {y}}-{\hat {y}}\otimes {\hat {x}})\mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot ({\hat {x}}\otimes {\hat {y}}-{\hat {y}}\otimes {\hat {x}})\mathbf {a_{2}} }}}$,

${\displaystyle \mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {({\hat {y}}\otimes {\hat {x}}-{\hat {x}}\otimes {\hat {y}})\mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{2}} \cdot ({\hat {y}}\otimes {\hat {x}}-{\hat {x}}\otimes {\hat {y}})\mathbf {a_{1}} }}}$,

ahol "${\displaystyle \otimes }$" tenzorszorzatot jelöl az ${\displaystyle {\hat {x}}}$ és ${\displaystyle {\hat {y}}}$ egységvektorok között.

A ${\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )}$, primitív rácsvektorokkal megadott háromdimenziós rács reciprokrács-bázisvektorai az alábbiak szerint adható meg:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$,

${\displaystyle \mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{2}} \cdot (\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} )}}}$,

${\displaystyle \mathbf {b_{3}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{3}} \cdot (\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} )}}}$.

A nevezők itt vegyes szorzatok. Ugyanez kifejezhető másféleképpen is, ha a vektorokat oszlopvektorként tekintve mátrix-formalizmust használunk, ekkor a reciprokrács-bázisvektorok mártix invertálással fejezhetők ki:

${\displaystyle \left[\mathbf {b_{1}} \mathbf {b_{2}} \mathbf {b_{3}} \right]^{T}=2\pi \left[\mathbf {a_{1}} \mathbf {a_{2}} \mathbf {a_{3}} \right]^{-1}.}$

Ez utóbbi definíció lehetőséget ad a magasabb dimenziók esetére való általánosításra, míg a vegyes szorzaton alapuló definíció inkább a háromdimenziós esetben célszerű, így az elterjedtebb a kristálytanban és az anyagtudományos méréstechnikában.

A fentivel analóg módon úgy is definiálhatjuk a reciprokrács-vektorokat, hogy a ${\displaystyle 2\pi }$ konstans előtagot a ${\displaystyle e^{2\pi i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$ feltételben vesszük figyelembe, amivel a reciproktérbeli bázis vektorai:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ={\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$,

alakba írhatók (a többi vektor ezzel analóg). Ennek a definíciónak, melyet a kristálytani gyakorlatban gyakran alkalmaznak, az az előnye, hogy a ${\displaystyle \mathbf {b_{1}} }$ vektor hossza ekkor éppen ${\displaystyle \mathbf {a_{1}} }$ hosszának reciproka lesz. Ekkor a reciprokrács-vektor valójában térfrekvenciaként fogható fel, melyhez könnyebb szemléletes fizikai magyarázatot adni. Adott alkalmazásban ügyelni kell rá, hogy a fenti két definíció közül mindig csak az egyiket alkalmazzuk.^[1][2]

A reciprokrács egy fontos alkalmazása, hogy annak egy (hkl) koordinátájú pontja direkt térbeli rácssíkoknak és ezekre merőleges rácsirányoknak feleltethető meg. A (hkl) indexeket Miller-indexeknek nevezzük. A reciprokrács-vektor hossza a direkt rács adott rácssíkjára merőleges rácssík-távolsággal hozható összefüggésbe

A reciprokrács a kristályanalitika egy alapvető fogalma, melyet a gyakorlatban is gyakran alkalmaznak például a diffrakciós vizsgálatok eredményeinek értelmezésére, például a röntgen-, elektron- és neutrondiffrakciós vizsgálatokban. A szórási kísérletekben a beeső és szórt nyaláb hullámszámának különbsége reciprok-rácsvektor, így a diffrakciós képből a reciprokrácsról nyerhető közvetlen információ.

A szilárdtestfizikában gyakran említett, a szilárdtestek jellemzőinek megértését szolgáló Brillouin-zóna valójában a reciprokrács Wigner–Seitz-cellája.

Néhány egyszerű rács reciprokrácsa

Egyszerű köbös rács

Az egyszerű köbös Bravais-rácsnak, melynek primitív cellája ${\displaystyle a}$ élhosszúságú kocka, a reciprokrácsa szintén köbös rács ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2\pi }{a}}\end{matrix}}}$ élhosszúsággal (a kristálytani definícióban ez ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{a}}\end{matrix}}}$). Ezért azt mondhatjuk, hogy a kockarács önmaga duálisa.

Lapcentrált és tércentrált köbös rácsok viszonya

A lapcentrált köbös Bravais-rács (FCC) reciprokrácsa tércentrált köbös Bravais-rács (BCC). Ugyanígy, az összefüggés fordítva is teljesül.

Könnyen belátható továbbá, hogy csak a páronként 90 fokot bezáró ${\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )}$ bázisvektorokkal jellemezhető rácsokra (azaz az ortorombos, a tetragonális és a kockarács esetén) teljesül, hogy a ${\displaystyle (\mathbf {b_{1}} ,\mathbf {b_{2}} ,\mathbf {b_{3}} )}$ reciprokrács-bázisvektorok párhuzamosak a direktrács rácsvektoraival.

Egyszerű hexagonális rács

Az egyszerű, a és c rácsállandókkal jellemzett hexagonális rács reciprokrácsa szintén egyszerű hexagonális rács, melynek rácsállandói ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2\pi }{c}}\end{matrix}}}$ illetve ${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {4\pi }{a{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}}$ és ezeka direkt rácsbeli c tengely körül 30°-kal elforgatottak.

A reciprokrács reciprokrácsára vonatkozó tétel bizonyítása

A következőkben megmutatjuk, hogy egy direkt rács reciprokrácsának reciprokrácsa maga a direkt rács.^[1]

Tudjuk, hogy a Bravais-rácsvektorok zártak a vektorok összeadására és kivonására, azaz rácsvektorok összege és különbsége is rácsvektor. Ekkor ha tekintünk két rácsvektort, melyekre

${\displaystyle e^{i\mathbf {K_{1}} \cdot \mathbf {(R)} }=1}$,

és

${\displaystyle e^{i\mathbf {K_{2}} \cdot \mathbf {(R)} }=1}$,

akkor a két vektor ${\displaystyle \mathbf {K_{1}} \pm \mathbf {K_{2}} }$ összegére és különbségére is fennáll az összefüggés, azaz

${\displaystyle e^{i\mathbf {(K_{1}+K_{2})} \cdot \mathbf {(R)} }=e^{i\mathbf {K_{1}} \cdot \mathbf {R} }\cdot e^{i\mathbf {K_{2}} \cdot \mathbf {R} }=1\cdot 1=1}$

${\displaystyle e^{i\mathbf {(K_{1}-K_{2})} \cdot \mathbf {(R)} }=e^{i\mathbf {K_{1}} \cdot \mathbf {R} }/e^{i\mathbf {K_{2}} \cdot \mathbf {R} }=1}$.

Ebből következik, hogy a reciprokrács-vektorok is zártak az összeadásra és kivonásra. Továbbá bármely reciprokrács-vektor kifejezhetó a reciprokrács primitív vektoraival:

${\displaystyle \mathbf {K} =k_{1}\mathbf {b_{1}} +k_{2}\mathbf {b_{2}} +k_{3}\mathbf {b_{3}} }$.

A definíciója alapján látható, hogy egy ${\displaystyle \mathbf {b_{i}} }$ reciprokrács bázisvektorra teljesül, hogy:

${\displaystyle \mathbf {b_{i}} \cdot \mathbf {a_{j}} =2\pi \delta _{ij}}$,

ahol ${\displaystyle \delta _{ij}}$ a Kronecker-delta. Legyen R direkt rácsbeli vektor, mely szintén felírható a direkt rácsbeli bázisban:

${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a_{1}} +n_{2}\mathbf {a_{2}} +n_{3}\mathbf {a_{3}} }$.

A fentiekből látjuk, hogy:

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {R} =2\pi (k_{1}n_{1}+k_{2}n_{2}+k_{3}n_{3})}$.

A definíció szerint a reciprok-rácsvektoroknak teljesíteniük kell az alábbi összefüggést:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$

Ez akkor teljesül, ha a ${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }$ szorzat ${\displaystyle 2\pi }$ egész számú többszöröse. Ez viszont teljesül, ugyanis ${\displaystyle n_{i}\in \mathbb {Z} }$, és ${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$. Azaz a reciprokrács szintén Bravais-rács. Továbbá ha a ${\displaystyle \mathbf {K} }$ vektorok reciprokrácsot alkotnak, akkor bármely ${\displaystyle \mathbf {G} }$ vektor, melyre teljesül, hogy

${\displaystyle e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {K} }=1}$

az reciprokrács reciprokrácsának vektora lesz. ${\displaystyle \mathbf {K} }$ vektor meghatározásából, ha ${\displaystyle \mathbf {G} }$ éppen egy ${\displaystyle \mathbf {R} }$ direkt rácsvektor, akkor visszakapjuk, hogy:

${\displaystyle e^{i\mathbf {R} \cdot \mathbf {K} }=1}$

Ebből pedig következik a bizonyítandó állítás.

Kapcsolódó szócikkek

• Kristálytan
• Duális bázis
• Ewald-gömb
• Miller-index
• Brillouin-zóna

Források

• http://newton.umsl.edu/run//nano/known.html Archiválva 2020. augusztus 31-i dátummal a Wayback Machine-ben – Jmol-based electron diffraction simulator lets you explore the intersection between reciprocal lattice and Ewald sphere during tilt.
• DoITPoMS Teaching and Learning Package on Reciprocal Space and the Reciprocal Lattice

Jegyzetek