Rendezett test

Az absztrakt algebrában rendezett testnek nevezzük az ${\displaystyle \mathbb {F} }$ testet, ha elemein definiálva van egy < reláció az alábbi tulajdonságokkal.

1. Tetszőleges ${\displaystyle a,b\in \mathbb {F} }$-re ${\displaystyle a<b}$, ${\displaystyle b<a}$ és ${\displaystyle a=b}$ közül pontosan egy teljesül.
2. Ha ${\displaystyle 0<a,b}$, akkor ${\displaystyle 0<ab}$.
3. Ha ${\displaystyle a<b}$, akkor ${\displaystyle a+c<b+c}$ tetszőleges ${\displaystyle c\in \mathbb {F} }$-re.

A rendezett test a valós analízis egyik legfontosabb fogalma, minthogy a valós számok legtöbb axiómarendszere abból indul ki, hogy ezek rendezett testet alkotnak.

A definíció egyszerű következményei

• Rendezett testben ${\displaystyle 0<1}$.
• Rendezett test karakterisztikája 0.
• A rendezett testek mindig végtelenek.
• Rendezett testben minden nemnulla elem négyzete nagyobb nullánál.
• Rendezett test részteste is rendezett.

Példák

Rendezett testet alkotnak a valós számok, a racionális számok és a valós algebrai számok. Nem alkotnak rendezett testet a komplex számok és az algebrai számok.

Elrendezhetőség, formálisan valós és valósan zárt test

A definícióban szereplő < relációt rendezésnek nevezzük. Egy test elrendezhető, ha definiálható rajta rendezés.

Egy test akkor és csak akkor elrendezhető, ha benne a -1 nem négyzetösszeg. Ez az Artin–Schreier-tétel. Az ilyen testeket formálisan valósnak nevezzük.

Valósan zárt egy test, ha formálisan valós, de egyetlen algebrai bővítése sem formálisan valós. Ha egy rendezett test valósan zárt, akkor csak egy rendezése van.

Arkhimédészien rendezett test

Egy ${\displaystyle \mathbb {F} }$ test arkhimédészien rendezett, ha tetszőleges ${\displaystyle a\in \mathbb {F} }$-hez található olyan ${\displaystyle n}$ természetes szám, amelynek esetében ${\displaystyle a<n}$. Arkhimédészien rendezett testet alkotnak a valós és a racionális számok.

Nem arkhimédészien rendezett testet alkot a valós együtthatós polinomok gyűrűjének ${\displaystyle \mathbb {H} }$ hányadosteste a következő rendezéssel: legyen ${\displaystyle 0<h(x)\in \mathbb {H} }$ akkor, ha ${\displaystyle h(x)}$ határértéke a végtelenben pozitív (esetleg végtelen). Ebben a ${\displaystyle \mathbb {H} }$ testben az ${\displaystyle x}$ elem minden természetes számnál nagyobb.

Források

• Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK