Schwarzschild-metrika

Albert Einstein általános relativitáselméletének a Schwarzschild megoldás (vagy Schwarzschild-metrika) volt az első egzakt megoldása, amely leírja egy statikus gömbszimmetrikus objektum gravitációs terét a gravitáló test felszínén kívűl. A megoldás során feltétlezte, hogy az objektum elektromágnesesen semleges, és a kozmológiai állandó zérus. Az elméleti asztrofizikában széleskörben használt lassan forgó objektumok gravitációs terének modellezésére.

Történet

A Schwarzschild megoldást Karl Schwarzschild tiszteletére nevezzük Schwarzschild metrikának, mert ő volt aki először talált egzakt megoldást az Einstein által 1916-ban publikált általános relativitáselméletben.[1]

Schwarzschild az eredeti megoldásban[2] más R koordinátát használt R = ( r 3 + α 3 ) 1 / 3 {\displaystyle R=(r^{3}+{\alpha }^{3})^{1/3}} .[3] A metrika jelenlegi formája David Hilberttől származik.[4]

A Schwarzschild metrika

Bővebben: A Schwarzschild-megoldás levezetése

Schwarzschild koordinátákban, a Schwarzschild metrika alakja:

c 2 d τ 2 = ( 1 − r s r ) c 2 d t 2 − ( 1 − r s r ) − 1 d r 2 − r 2 ( d θ 2 + sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) {\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}dr^{2}-r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)}

ahol:

Ez a megoldás határesetben megegyezik a newtoni fizika egy tömegpont gravitációs terét leíró megoldásával.[6]

A Schwarzschild metrika izotrop koordinátázása

A metrikát felírhatjuk az Eddington[7] féle izotrop koordinátakban (r ≥ 2GM/c2[8]).

Az

r = r 1 ( 1 + G M 2 c 2 r 1 ) 2 {\displaystyle r=r_{1}{\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)}^{2}\,}

radiális koordináta helyett az r1-et használva

c 2 d τ 2 = ( 1 − G M 2 c 2 r 1 ) 2 ( 1 + G M 2 c 2 r 1 ) 2 c 2 d t 2 − ( 1 + G M 2 c 2 r 1 ) 4 ( d r 1 2 + r 1 2 d θ 2 + r 1 2 sin 2 ⁡ θ d φ 2 ) . {\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}={\frac {(1-{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}{(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}}\,c^{2}{dt}^{2}-\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}\left(dr_{1}^{2}+r_{1}^{2}d\theta ^{2}+r_{1}^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\,.}

ahol az x, y, z izotróp koordináták

x = r 1 sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ , y = r 1 sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ , z = r 1 cos ⁡ θ , {\displaystyle x=r_{1}\,\sin \theta \,\cos \phi \,,\quad y=r_{1}\,\sin \theta \,\sin \phi \,,\quad z=r_{1}\,\cos \theta \,,}

és

r 1 = x 2 + y 2 + z 2 , {\displaystyle r_{1}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,,}

így a metrika

c 2 d τ 2 = ( 1 − G M 2 c 2 r 1 ) 2 ( 1 + G M 2 c 2 r 1 ) 2 c 2 d t 2 − ( 1 + G M 2 c 2 r 1 ) 4 ( d x 2 + d y 2 + d z 2 ) . {\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}={\frac {(1-{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}{(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}})^{2}}}\,c^{2}{dt}^{2}-\left(1+{\frac {GM}{2c^{2}r_{1}}}\right)^{4}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})\,.} [7]

Fekete lyuk megoldások

Az ún. nevezett fekete lyuk megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek. Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild megoldás. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika, melyet Hans Reissner és Gunnar Nordström talált meg 1918-ban. A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.[9] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

Nem forgó (J = 0) Forgó (J ≠ 0)
Töltés nélküli (Q = 0) Schwarzschild Kerr-metrika
Elektromosan töltött (Q ≠ 0) Reissner–Nordström-metrika Kerr–Newman metrika

A metrika más alakjai

  • Lemaitre koordináták
  • Eddington–Finkelstein koordináták
  • Kruskal–Szekeres koordináták
  • Novikov koordináták
  • Gullstrand–Painlevé koordináták

Jegyzetek

  1. ↑ http://www.wbabin.net/eeuro/vankov.pdf Archiválva 2011. július 24-i dátummal a Wayback Machine-ben – Einstein eredeti cikke és angol fordítása, valamint Schwarzschild levele Einsteinhez.
  2. ↑ http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/schwarzschild.pdf – On the Gravitational Field of a Mass Point according to Einstein’s Theory by K. Schwarzschild – arXiv:physics/9905030 v1 (text of the original paper, in Wikisource)
  3. ↑ http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/index.html – The Black Hole, the Big Bang, and Modern Physics
  4. ↑ http://www.sjcrothers.plasmaresources.com/hilbert.pdf – DAVID HILBERT AND THE ORIGIN OF THE “SCHWARZSCHILD SOLUTION” – arXiv:physics/0310104 v1
  5. ↑ Landau 1975.
  6. ↑ Ehlers, J. (1997). „Examples of Newtonian limits of relativistic spacetimes”. Classical and Quantum Gravity 14, A119–A126. o. DOI:10.1088/0264-9381/14/1A/010.  
  7. ↑ a b A. S. Eddington, "The Mathematical Theory of Relativity", 2nd edition 1924 (Cambridge University press), at sec. 43, p.93.
  8. ↑ H. A. Buchdahl, "Isotropic coordinates and Schwarzschild metric", International Journal of Theoretical Physics, Vol.24 (1985) pp. 731–739.
  9. ↑ Kerr, Roy P. (1963). "Gravitational Field of a Spinning Mass as an Example of Algebraically Special Metrics". Physical Review Letters 11 (5): 237–238. Bibcode:1963PhRvL..11..237K. doi:10.1103/PhysRevLett.11.237.

Irodalom

  • Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einstein'schen Theorie. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 189–196.
    • az eredeti cikk szkennelve
    • az eredeti cikk a Wikisource-on
    • Antoci és Loinger angol fordítása
    • commentárok
  • Schwarzschild, K. (1916). Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit. Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 1, 424-?.
  • Flamm, L (1916). „Beiträge zur Einstein'schen Gravitationstheorie”. Physikalische Zeitschrift 17, 448–?. o.  
  • Ronald Adler, Maurice Bazin, Menahem Schiffer, Introduction to General Relativity (Second Edition), (1975) McGraw-Hill New York; ISBN 0-07-000423-4. 6. fejezet.
  • Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics, Volume 2, (1951) Pergamon Press, Oxford; ISBN 0-08-025072-6. 12. fejezet.
  • Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W.H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. 31-32. fejezet.
  • Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity, (1972) John Wiley & Sons, New York; ISBN 0-471-92567-5. 8. fejezet.