Háromszög esetén, α , β és γ jelöli az a , b és c oldalakkal szemközti szögeket A tangenstétel egy geometriai tétel, miszerint egy tetszőleges háromszög két oldalára és az oldalakkal szemben fekvő szögekre igaz a következő összefüggés:
a + b a − b = t g α + β 2 t g α − β 2 . {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}\ =\ {\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}.} Bizonyítás A szinusztétel értelmében:
a sin α = b sin β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.} Legyen
d = a sin α = b sin β , {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},} így
a = d sin α és b = d sin β , {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ és }}b=d\sin \beta ,} amiből
a + b a − b = d sin α + d sin β d sin α − d sin β = sin α + sin β sin α − sin β . {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {d\sin \alpha +d\sin \beta }{d\sin \alpha -d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}.} A két szinusz összegére vonatkozó képlet
sin α ± sin β = 2 sin ( α ± β 2 ) cos ( α ∓ β 2 ) {\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right)\;} használatával a következő alakot kapjuk:
a + b a − b = 2 sin α + β 2 cos α − β 2 2 sin α − β 2 cos α + β 2 = t g α + β 2 t g α − β 2 . {\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}={\frac {2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}=\ {\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}.} Ezzel a tételt bebizonyítottuk.
Kapcsolódó szócikkek Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap
