Kurva eliptik

Katalog kurva eliptik. Daerah yang ditampilkan adalah [−3, 3]2. Untuk (a, b) = (0, 0), fungsi ini tidak halus sehingga tidak termasuk kurva eliptik.

Dalam matematika, kurva eliptik adalah kurva aljabar yang proyektif dan halus, bergenus satu, serta memiliki titik O tertentu. Tiap kurva eliptik dalam sebuah medan yang karakteristiknya bukan 2 dan 3 dapat dijelaskan sebagai sebuah kurva aljabar datar yang memenuhi persamaan

y 2 = x 3 + a x + b . {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b.}

Kurva eliptik harus taksingular, yakni tidak memiliki taring atau berpotongan dengan dirinya sendiri. Hal tersebut sama dengan memenuhi keadaan 4 a 3 + 27 b 2 ≠ 0. {\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}\neq 0.}

Kurva eliptik bukanlah elips: lihat integral eliptik untuk asal mula istilahnya. Secara topologi, kurva eliptik kompleks adalah torus, sedangkan elips kompleks adalah bola.

Aturan grup

Operasi titik kurva eliptik: pertambahan (kasus I), penggandaan (kasus II dan IV), dan negasi (kasus III)

Ketika bekerja dalam bidang proyektif, kita dapat mendefinisikan struktur grup pada kurva kubik halus apa pun. Dalam bentuk normal Weierstrass, kurva tersebut akan memiliki satu titik di takhingga, O, dalam koordinat homogen [0:1:0] yang berperan sebagai identitas grup.

Karena kurva ini simetris terhadap sumbu x, untuk sembarang titik P, kita definisikan -P sebagai lawannya. Kita anggap -O sama dengan O.

Jika titik P dan Q adalah dua titik pada kurva, kita dapat definisikan titik ketiga, P + Q, sebagai berikut. Pertama, kita buat garis yang memotong P dan Q. Lalu, garis tersebut akan memotong kurva pada titik lain yang kita sebut R. Kemudian, kita definisikan P + Q = -R, yaitu lawan dari R.

Definisi di atas dapat berlaku, kecuali untuk beberapa kasus khusus seperti pertambahan dengan titik di takhingga dan penggandaan titik. Untuk titik di takhingga, kita definisikan sehingga O adalah identitas grup. Jika P dan Q saling berlawanan, kita definisikan P + Q = O. Untuk penggandaan titik, kita tidak bisa membuat garisnya karena hanya ada satu titik. Karenanya, kita bisa memakai garis singgung kurva eliptik pada titik tersebut untuk mencari perpotongan lain dengan kurva. Titik perpotongan tersebut juga menjadi lawan hasil penggandaannya. Namun, bila P berada pada titik belok, kita ambil R sebagai P sehingga P + P adalah lawan dirinya sendiri.

Kurva eliptik dalam bilangan riil

Grafik kurva y2 = x3 − x dan y2 = x3 − x + 1

Dalam konteks ini, kurva eliptik adalah lengkung bidang yang didefinisikan oleh persamaan dalam bentuk

y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b}

dengan a dan b bilangan riil.

Definisi kurva eliptik juga mewajibkan kurva untuk nonsingular. Secara geometris, itu berarti bahwa grafiknya tidak memiliki taring, tidak memotong dirinya sendiri, dan tidak punya titik yang sendirian (terputus/terisolasi). Secara aljabar, itu hanya berlaku jika dan hanya jika diskriminannya

Δ = − 16 ( 4 a 3 + 27 b 2 ) {\displaystyle \Delta =-16(4a^{3}+27b^{2})}

tidak sama dengan nol.

Grafik (riil) suatu kurva yang nonsingular memiliki dua komponen jika diskriminannya positif dan satu komponen jika diskriminannya negatif. Contohnya, pada grafik di samping, diskriminan kasus I adalah 64 dan diskriminan kasus II adalah -368.

Kurva eliptik dalam bilangan kompleks

Kurva eliptik dalam bilangan rasional

Kurva eliptik dalam medan umum

Kurva eliptik dapat didefinisikan dalam medan K. Definisi matematis kurva eliptik adalah kurva aljabar yang nonsingular bergenus 1 dengan titik lain yang didefinisikan dalam K.

Jika karakteristik K bukan 2 dan 3, tiap kurva eliptik dapat ditulis dalam bentuk

y 2 = x 3 − p x − q {\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q}

dengan p dan q adalah anggota K yang menyebabkan ruas kanan tidak memiliki akar ganda. Jika karakteristiknya 2 atau 3, ada beberapa suku yang harus ditambah. Untuk karakteristik 3, bentuk paling umumnya adalah

y 2 = 4 x 3 + b 2 x 2 + 2 b 4 x + b 6 {\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}}

dengan tetapan b2, b4, dan b6 yang menyebabkan ruas kanan memiliki akar berbeda (notasi dipilih karena alasan sejarah). Untuk karakteristik 2, bentuk paling umumnya adalah

y 2 + a 1 x y + a 3 y = x 3 + a 2 x 2 + a 4 x + a 6 {\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}}

dengan catatan bahwa ragam yang didefinisikan adalah nonsingular. Jika karakteristik bukan halangan, tiap persamaan dapat disederhanakan menjadi seperti sebelumnya dengan mengganti beberapa variabel.

Kurva eliptik dalam medan hingga

Kegunaan

  • Kriptografi kurva eliptik

Algoritme yang memakai kurva eliptik

Kurva eliptik dalam medan berhingga dipakai dalam kriptografi dan juga faktorisasi prima. Biasanya, algoritme berikut adalah algoritme yang sudah ada, tetapi memakai sifat-sifat kurva eliptik.

  • Kriptografi kurva eliptik
  • Diffie–Hellman kurva eliptik
  • Algoritme Tanda Tangan Digital kurva eliptik
  • Faktorisasi kurva eliptik Lenstra

Lihat pula

Daftar pustaka

  • I. Blake; G. Seroussi; N. Smart (2000). Elliptic Curves in Cryptography. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-5216-5374-6. 
  • Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). "Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic". Prime Numbers: A Computational Perspective (edisi ke-1). Springer-Verlag. hlm. 285–352. ISBN 0-3879-4777-9. 
  • Cremona, John (1997). Algorithms for Modular Elliptic Curves (edisi ke-2). Cambridge University Press. ISBN 0-5215-9820-6. 
  • Darrel Hankerson, Alfred Menezes, dan Scott Vanstone (2004). Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer. ISBN 0-3879-5273-X. Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
  • Hellegouarch, Yves (2001). Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles. Paris: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1. 
  • Husemöller, Dale (2004). Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 111 (edisi ke-2). Springer. ISBN 0-3879-5490-2. 
  • Kenneth Ireland; Michael I. Rosen (1998). "Chapter 18 dan 19". A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 84 (edisi ke-2 revisi). Springer. ISBN 0-3879-7329-X. 
  • Knapp, Anthony W. (2018) [1992]. Elliptic Curves. Mathematical Notes. 40. Princeton University Press. ISBN 978-0-6911-8690-0. 
  • Koblitz, Neal (1993). Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Graduate Texts in Mathematics. 97 (edisi ke-2). Springer-Verlag. ISBN 0-3879-7966-2. 
  • Koblitz, Neal (1994). "Chapter 6". A Course in Number Theory and Cryptography. Graduate Texts in Mathematics. 114 (edisi ke-2). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9. 
  • Serge Lang (1978). Elliptic curves: Diophantine analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 231. Springer-Verlag. ISBN 3-5400-8489-4. 
  • Henry McKean; Victor Moll (1999). Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic. Cambridge University Press. ISBN 0-5216-5817-9. 
  • Ivan Niven; Herbert S. Zuckerman; Hugh Montgomery (1991). "Section 5.7"Perlu mendaftar (gratis). An introduction to the theory of numbers (edisi ke-5). John Wiley. ISBN 0-4715-4600-3. 
  • Silverman, Joseph H. (1986). The Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 106. Springer-Verlag. ISBN 0-3879-6203-4. 
  • Silverman, Joseph H. (1994). Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves. Graduate Texts in Mathematics. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-3879-4328-5. 
  • Silverman, Joseph H.; John Tate (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag. ISBN 0-3879-7825-9. 
  • Tate, John (1974). "The arithmetic of elliptic curves". Inventiones Mathematicae. 23 (3–4): 179–206. Bibcode:1974InMat..23..179T. doi:10.1007/BF01389745. 
  • Washington, Lawrence (2003). Elliptic Curves: Number Theory and CryptographyPerlu mendaftar (gratis). Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0.