Approssimazione lineare

In analisi matematica, un'approssimazione lineare è un tipo di approssimazione di una funzione a una retta o comunque a una funzione affine (la traslata di una funzione lineare). Questo procedimento è anche detto linearizzazione o sviluppo al primo ordine della funzione.

Le approssimazioni lineari sono usate correntemente in molte aree della matematica e della fisica, perché consentono, sotto ipotesi opportune, di semplificare problemi complessi (e talvolta non altrimenti risolubili per via analitica).

Sia ${\displaystyle f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ una funzione reale di variabile reale derivabile in ${\displaystyle E}$. Possiamo allora scrivere il polinomio di Taylor della funzione centrato in ${\displaystyle a\in E}$, arrestato al primo ordine:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+o(x-a)}$

dove la notazione o piccolo ${\displaystyle o(x-a)}$ indica che:

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {o(x-a)}{x-a}}=0}$

cioè che il resto trascurato durante l'approssimazione è un infinitesimo di ordine superiore al primo. Possiamo scrivere l'approssimazione come:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}$

che è l'equazione di una retta; essa viene chiamata retta tangente al grafico di ${\displaystyle f}$ nel punto di ascissa ${\displaystyle a}$. Questa è la retta che approssima linearmente ${\displaystyle f}$ attorno ad ${\displaystyle a}$, ed è definita solo per funzioni derivabili almeno una volta in tale punto; una funzione derivabile in un punto, infatti, può essere "vista a ingrandimenti sempre maggiori" fino a essere indistinguibile, negli immediati paraggi del punto, da una retta: questa è la retta tangente.

Sia ${\displaystyle f:\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ una funzione reale a ${\displaystyle n}$ variabili reali ${\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n}}$, differenziabile in ${\displaystyle \Omega }$ aperto. Lo sviluppo al primo ordine di ${\displaystyle f}$ attorno ad ${\displaystyle \mathbf {a} \in \Omega }$ si può scrivere:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {a} \|)}$

dove:

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ),\cdots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\right)}$

è il gradiente di ${\displaystyle f}$ calcolato nel punto ${\displaystyle \mathbf {a} }$ e

${\displaystyle \nabla f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )=\sum _{i=0}^{n}{{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {a} )(x_{i}-a_{i})}}$.

Questo prodotto scalare definisce un iperpiano ${\displaystyle n}$-dimensionale tangente al grafico (immerso nell'${\displaystyle (n+1)}$-spazio) della funzione nel punto ${\displaystyle \mathbf {a} }$; questo iperpiano (che nel caso ${\displaystyle n=1}$ è proprio la retta tangente) approssima linearmente la funzione attorno ad ${\displaystyle \mathbf {a} }$, e la funzione approssimante:

${\displaystyle f(\mathbf {x} )\approx f(\mathbf {a} )+\nabla f(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )}$

è una funzione affine, data la linearità del prodotto scalare.

Nel caso di funzioni vettoriali ${\displaystyle \mathbf {f} :\Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ di componenti:

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=(f_{1}(\mathbf {x} ),\cdots ,f_{m}(\mathbf {x} ))}$

differenziabili una volta in ${\displaystyle \Omega }$ aperto, è possibile approssimare linearmente la funzione componente per componente, ottenendo (per un ${\displaystyle \mathbf {a} \in \Omega }$):

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )\approx f_{i}(\mathbf {a} )+\nabla f_{i}(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )}$

per ogni ${\displaystyle i}$ da 1 a ${\displaystyle m}$; usando la notazione vettoriale, si può scrivere:

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx \mathbf {f} (\mathbf {a} )+\mathbf {J} _{f}(\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {a} )}$

dove:

${\displaystyle \mathbf {J} _{f}(\mathbf {a} )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\\\vdots &\cdots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} )\end{bmatrix}}}$

è la matrice jacobiana della funzione ${\displaystyle \mathbf {f} }$ calcolata nel punto ${\displaystyle \mathbf {a} }$, la quale contiene tutti i gradienti delle ${\displaystyle m}$ componenti di ${\displaystyle f}$; naturalmente, se ${\displaystyle n=m=1}$, si ritrova la formula della retta tangente.

Una funzione definita su uno spazio di Banach può similmente essere approssimata tramite la funzione lineare:

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$

dove ${\displaystyle Df(a)}$ è la derivata di Fréchet di ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle a}$.

• (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
• (EN) Strang, Gilbert, Calculus, Wellesley College, 1991, p. 94, ISBN 0-9614088-2-0.
• (EN) Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E., Calculus III, Berlin, Springer-Verlag, 1984, p. 775, ISBN 0-387-90985-0.
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• (EN) Bock, David; Hockett, Shirley O., How to Prepare for the AP Calculus, Hauppauge, NY, Barrons Educational Series, 2005, p. 118, ISBN 0-7641-2382-3.

• Funzione (matematica)
• Linearità (matematica)
• Metodo di Eulero
• Metodo di Newton
• Retta
• Serie di potenze
• Sviluppo in serie di Taylor

• (EN) linear approximation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) 12.1 Estimating a Function Value Using the Linear Approximation, su math.mit.edu. URL consultato il 3 giugno 2012 (archiviato dall'url originale il 3 marzo 2013).