Equazione di Steinhart-Hart

L'equazione di Steinhart-Hart è un modello matematico della resistenza elettrica di un semiconduttore al variare della temperatura.
È stata sviluppata da John S. Steinhart e Stanley R. Hart per essere usata con i termistori di tipo NTC dove fornisce una buona precisione.

L'equazione è:

${\displaystyle {1 \over T}=A+B\ln(R)+C[\ln(R)]^{3}}$

dove:

• T è la temperatura (in kelvin)
• R è la resistenza (in ohm)
• A, B e C sono i coefficienti di Steinhart-Hart che variano a seconda del tipo e modello di termistore e il range di temperatura scelto.

Nella sua forma più generale l'equazione contiene anche il termine ${\displaystyle [\ln(R)]^{2}}$, ma tale coefficiente viene spesso trascurato perché è molto più piccolo degli altri.

L'equazione è spesso utilizzata per ricavare una precisa temperatura di un termistore poiché fornisce una maggiore approssimazione della temperatura effettiva di equazioni più semplici ed è utilizzabile per l'intera gamma di temperature di lavoro del sensore.

I coefficienti di Steinhart–Hart sono di solito forniti dai costruttori di termistori.

Se i coefficienti di Steinhart-Hart non sono disponibili ma si possono fare tre misure accurate di resistenza e temperatura, i coefficienti si ricavano da un sistema di tre equazioni lineari.

Note le resistenze in tre punti R₁, R₂, R₃ e le tre temperature corrispondenti (t₁, t₂, t₃ espresse in Celsius (°C) il sistema diventa:

${\displaystyle {1 \over t_{1}+273,15}=A+B\ln(R_{1})+C(\ln(R_{1}))^{3}}$

${\displaystyle {1 \over t_{2}+273,15}=A+B\ln(R_{2})+C(\ln(R_{2}))^{3}}$

${\displaystyle {1 \over t_{3}+273,15}=A+B\ln(R_{3})+C(\ln(R_{3}))^{3}}$

nelle tre incognite A, B e C.

Ponendo prima:

${\displaystyle L_{1}=\ln(R_{1})}$,

${\displaystyle L_{2}=\ln(R_{2})}$

e

${\displaystyle L_{3}=\ln(R_{3})}$,

${\displaystyle Y_{1}={1 \over t_{1}+273,15}}$

${\displaystyle Y_{2}={1 \over t_{2}+273,15}}$

${\displaystyle Y_{3}={1 \over t_{3}+273,15}}$,

poi:

${\displaystyle \gamma _{2}={Y_{2}-Y_{1} \over L_{2}-L_{1}}}$  e ${\displaystyle \gamma _{3}={Y_{3}-Y_{1} \over L_{3}-L_{1}}}$

seguono le soluzioni:

${\displaystyle \Rightarrow C=\left({\gamma _{3}-\gamma _{2} \over L_{3}-L_{2}}\right)\times \left({1 \over L_{1}+L_{2}+L_{3}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow B=\gamma _{2}-C\cdot (L_{1}^{2}+L_{1}\cdot L_{2}+L_{2}^{2})}$

${\displaystyle \Rightarrow A=Y_{1}-(B+L_{1}^{2}\cdot C)\cdot L_{1}}$

Per trovare la resistenza di un semiconduttore, nota la temperatura e i tre coefficienti (A, B e C), si deve usare la forma inversa dell'equazione di Steinhart-Hart.

Per risolvere l'equazione rispetto a R si osserva che essa è un'equazione di terzo grado con l'incognita ln (R).

${\displaystyle R=exp\left({\sqrt[{3}]{x-{y \over 2}}}-{\sqrt[{3}]{x+{y \over 2}}}\right)}$

dove:

${\displaystyle y={A-{1 \over T} \over C}}$

${\displaystyle x={\sqrt {\left({B \over 3C}\right)^{3}+{y^{2} \over 4}}}}$

L'equazione prende il nome da John S. Steinhart e Stanley R. Hart che per primi la pubblicarono nel 1968^[1]. Il professor Steinhart (1929-2003), socio della American Geophysical Union (organizzazione non profit di geofisici statunitensi) e della American Association for the Advancement of Science, è stato un membro di facoltà dell'Università del Wisconsin-Madison nel periodo 1969-1991^[2].

Il Dottor Hart, scienziato senior del Woods Hole Oceanographic Institution (organizzazione non profit privata di ricerca e istruzione superiore) dal 1989 e membro della Geological Society of America, dell'American Geophysical Union, della Geochemical Society e della European Association for Geochemistry,^[3] lavorava con il professor Steinhart al Carnegie Institution for Science (Washington) quando svilupparono l'equazione.

• Termistore

• (EN) Calcolatore on line per l'equazione di Steinhart-Hart (anche a quattro coefficienti) su Daycounter, Inc., su daycounter.com.