Indipendenza lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.

L'indipendenza di ${\displaystyle n}$ vettori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Sia ${\displaystyle V}$ uno spazio vettoriale su un campo ${\displaystyle K}$. Dati ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ elementi di ${\displaystyle V}$, si dice che essi sono linearmente indipendenti su ${\displaystyle K}$ se in tale campo la relazione:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \qquad a_{i}\in K}$

è verificata solo se gli elementi ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ sono tutti uguali a zero.^[1] Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ elementi di ${\displaystyle V}$ sono linearmente dipendenti.

La definizione si estende anche a un insieme infinito di vettori di ${\displaystyle V}$: questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.

Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.

Si consideri l'insieme ${\displaystyle S}$ costituito dai vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$. Si dice dipendenza lineare per ${\displaystyle S}$ un vettore ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ di ${\displaystyle K^{n}}$ diverso da ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,\dots ,0)}$ tale che:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0}$

Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare ${\displaystyle \mathbf {d} }$ per un insieme ${\displaystyle S}$ di ${\displaystyle n}$ vettori, ogni vettore ${\displaystyle \alpha \mathbf {d} }$ proporzionale a essa, con ${\displaystyle \alpha \neq 0}$ appartenente a ${\displaystyle K}$, è una dipendenza lineare per lo stesso ${\displaystyle S}$. Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.

In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}}$ è uno sottospazio dello spazio proiettivo ${\displaystyle P(K^{n})}$.

I vettori ${\displaystyle (1,1)}$ e ${\displaystyle (-3,2)}$ in ${\displaystyle R^{2}}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, siano ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ due numeri reali tali che:

${\displaystyle a(1,1)+b(-3,2)\,=\,(0,0)}$

allora:

${\displaystyle (a-3b,a+2b)=(0,0)}$

cioè:

${\displaystyle a-3b=0\qquad a+2b=0}$

risolvendo per ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$, si trova ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle b=0}$.

Sia ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ e si considerino i seguenti elementi in ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&:=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&:=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}&:=(0,0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}}$

allora ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots \mathbf {e} _{n}}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots a_{n}}$ siano elementi di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ tali che:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}\,=\,0}$

Poiché:

${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$

allora ${\displaystyle a_{i}=0}$ per ogni ${\displaystyle i}$ in ${\displaystyle \{1,\dots n\}}$.

Sia ${\displaystyle V}$ lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da ${\displaystyle \mathbb {R} }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Indicando con ${\displaystyle t}$ la variabile reale, le funzioni ${\displaystyle e^{t}}$ ed ${\displaystyle e^{2t}}$ in ${\displaystyle V}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ siano due numeri reali tali che:

${\displaystyle ae^{t}+be^{2t}=0}$

per ogni valore di ${\displaystyle t}$. Si deve dimostrare che ${\displaystyle a=0}$ e ${\displaystyle b=0}$. A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:

${\displaystyle ae^{t}+2be^{2t}=0}$

Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:

${\displaystyle be^{2t}=0}$

e, considerando il valore particolare ${\displaystyle t=0}$, si ha ${\displaystyle b=0}$.

Dalla prima relazione allora:

${\displaystyle ae^{t}\,=\,0}$

e di nuovo per ${\displaystyle t=0}$ si trova ${\displaystyle a=0}$.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Stephen Friedberg, Arnold Insel e Lawrence Spence, Linear Algebra, 4ª ed., Pearson, 2003, pp. 48-49, ISBN 0-13-008451-4.

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Completamento a base
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Indipendenza affine
• Indipendenza algebrica
• Matrice di cambiamento di base
• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

• (EN) Eric W. Weisstein, Indipendenza lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Indipendenza lineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Tutorial and interactive program on Linear Independence.
• (EN) Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.

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