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In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:
- è aperto nella sua chiusura;
- è aperto in un chiuso di ;
- è chiuso in un aperto di ;
- per ogni punto di esiste un intorno aperto di x tale che è chiuso in ;
- è intersezione di un aperto e un chiuso di .
Osservazioni
Se è un sottoinsieme localmente chiuso di , allora l'insieme è il più grande aperto di in cui è chiuso. Infatti, se è un altro aperto in cui è chiuso risulta e quindi per cui è aperto e .
Esempi
- Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
- Il sottoinsieme di munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
- Ogni sottovarietà differenziabile di è uno spazio localmente chiuso.
Voci correlate
- Insieme aperto
- Insieme chiuso
- Chiusura (topologia) di un insieme
- Intorno topologico.
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