Partizione di un intervallo

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In matematica la partizione di un intervallo reale è un insieme di punti dell'intervallo che lo dividono in sottointervalli. Il concetto di partizione è usato per definire numerosi concetti come l'integrale di Riemann e la lunghezza di un arco.

Se l'intervallo è ${\displaystyle I=[a,b]}$ la partizione di ${\displaystyle I}$ è un insieme ${\displaystyle \rho =\{t_{i}\}_{i=0}^{n}}$

${\displaystyle \rho =\{t_{i}\in [a,b]:a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\}}$

La partizione dell'intervallo ${\displaystyle I}$ definisce in modo naturale dei sottointervalli di ${\displaystyle I}$, come ad esempio:

${\displaystyle I_{0}=[t_{0},t_{1}),I_{1}=[t_{1},t_{2}),\ldots ,I_{n-1}=[t_{n-1},t_{n})}$

che costituiscono una particolare partizione dell'insieme ${\displaystyle [a,b]}$. Appare chiaro che le ampiezze dei singoli intervalli (${\displaystyle \Delta t_{i}=t_{i+1}-t_{i}}$) non devono necessariamente essere uguali.

L'ampiezza (o mesh) della partizione ${\displaystyle \rho }$ è definita come:

${\displaystyle |\rho |=\max _{1\leq i\leq n}\Delta t_{i}=\max _{1\leq i\leq n}(t_{i+1}-t_{i})}$

L'ampiezza di una partizione è usata nelle somme di Riemann.

Due partizioni si possono anche confrontare: una partizione ${\displaystyle \pi '}$ è più fine di un'altra ${\displaystyle \pi }$ se i punti di ${\displaystyle \pi }$ sono tutti presenti fra quelli di ${\displaystyle \pi '}$, cioè se:

${\displaystyle \pi \subseteq \pi '.}$

Si dice che ${\displaystyle \pi '}$ è un raffinamento di ${\displaystyle \pi }$. Inoltre è evidente che se si uniscono i punti di due partizioni la nuova partizione così ottenuta è più fine, o al minimo fine allo stesso modo, delle precedenti. Tale relazione si indica con ${\displaystyle \left.\ {\pi '}\right\}\pi }$. Ovviamente vale:

${\displaystyle |\rho (\pi ')|\leq |\rho (\pi )|}$

che giustifica il nome "raffinamento".

Dato l'intervallo ${\displaystyle [0,10]}$ una partizione può essere ${\displaystyle \{0,2,6,10\}}$, un raffinamento ${\displaystyle \{0,1,2,5,6,7,10\}}$. L'ampiezza della prima partizione è 4, del raffinamento 3.

• Integrale di Riemann
• Integrale di Riemann-Stieltjes

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