Sistema autonomo (matematica)

In matematica, un sistema autonomo o equazione differenziale autonoma è un sistema di equazioni differenziali ordinarie che non dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente. Sono utilizzati nello studio dei sistemi dinamici, dove la variabile indipendente è il tempo.

Definizione

Un'equazione autonoma è un'equazione differenziale ordinaria del tipo:

y'(t)=f(y(t))

dove $f$ è una funzione continua con derivata prima continua in tutto un intervallo $I\subset \mathbb {R}$ , e che non dipende dalla variabile indipendente $t$ . Se $y$ è un vettore di $\mathbb {R} ^{n}$ si ha un sistema autonomo, ovvero un sistema di equazioni differenziali ordinarie autonome:

y'_{i}=f_{i}(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})\qquad i=1,\dots ,n

Di particolare importanza sono i punti $x_{0}$ tali per cui $f(x_{0})=0$ , detti punti di equilibrio, ai quali corrisponde la soluzione costante $y=x_{0}$ .

Un generico sistema di equazioni differenziali ordinarie (in cui $f$ dipende da $t$ ):

{\frac {d}{dt}}y(t)=f(y(t),t)

può essere reso autonomo introducendo una nuova incognita $y_{n+1}=t$ .

Proprietà

Sia $x_{1}(t)$ l'unica soluzione del problema ai valori iniziali per il sistema autonomo:

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\qquad x(0)=x_{0}

Allora $x_{2}(t)=x_{1}(t-t_{0})$ è soluzione di:

{\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t))\qquad x(t_{0})=x_{0}

Infatti, ponendo $s=t-t_{0}$ si ha $x_{1}(s)=x_{2}(t)$ e $ds=dt$ , sicché:

{\frac {d}{dt}}x_{2}(t)={\frac {d}{dt}}x_{1}(t-t_{0})={\frac {d}{ds}}x_{1}(s)=f(x_{1}(s))=f(x_{2}(t))

e la condizione iniziale è verificata:

x_{2}(t_{0})=x_{1}(t_{0}-t_{0})=x_{1}(0)=x_{0}

Inoltre, se $f(x_{0})=0$ allora la funzione costante $x(t)=x_{0}$ è una soluzione (come si verifica sostituendola nell'equazione, osservando che la sua derivata è nulla) che soddisfa la condizione iniziale $x(0)=x_{0}$ . In particolare, un vettore $x_{0}\in I$ tale che $x(t=t_{0})=x_{0}$ è un punto di equilibrio per il sistema se e solo se $f(x_{0})=0$ .

Soluzioni

La soluzione formale di un sistema del primo ordine si ottiene scrivendo:

{\frac {dy}{dt}}=f(y)

da cui:

{\frac {dy}{f(y)}}=dt

Integrando si ottiene la soluzione generale:

\int {\frac {1}{f(y)}}dy=\int dt=t+k

dove $k$ è una costante dipendente dalle condizioni iniziali. Più precisamente, grazie al fatto che l'integrale precedente è una funzione invertibile, si mostra che se $f$ è definita su $I$ e $x_{0}\in I$ allora esistono un intorno di $x_{0}$ ed un intorno di $t_{0}\in \mathbb {R}$ tali per cui esiste almeno una soluzione $x$ di $x'=f(x)$ tale che $x(t_{0})=x_{0}$ . Considerando pertanto il problema di Cauchy abbinato all'equazione autonoma $y(t_{0})=y_{0}$ , se $f(y_{0})=0$ allora la soluzione è costante ( $y(t)=y_{0}$ ) mentre se $f(y_{0})\neq 0$ la soluzione è data dall'integrale:

\int _{y_{0}}^{y}{\frac {1}{f(z)}}dz=\int _{t_{0}}^{t}d\tau

A partire dalle soluzioni si possono ricavare proprietà generali per l'equazione autonoma: se la funzione $f(y)$ ha segno costante allora anche la derivata $y'$ ha segno costante, cioè mantiene la monotonia. Ad esempio, Si consideri:

y'(t)=ay\qquad a\neq 0

Questa equazione ha una soluzione costante $y=0$ . Le altre soluzioni sono crescenti se $at_{0}>0$ e decrescenti se $at_{0}<0$ e non si hanno punti di flesso. Un altro esempio semplice è l'equazione logistica.

Secondo ordine

Per un'equazione autonoma del secondo ordine:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=f(x,x')

si introduce la variabile:

v={\frac {dx}{dt}}

e si esprime la derivata seconda di $x$ , sfruttando la regola della catena, come:

{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {dv}{dt}}={\frac {dx}{dt}}{\frac {dv}{dx}}=v{\frac {dv}{dx}}

In questo modo l'equazione originale diventa:

v{\frac {dv}{dx}}=f(x,v)

che è un'equazione del primo ordine che non dipende esplicitamente da $t$ . Risolvendola si ottiene $v$ in funzione di $x$ , e dalla definizione di $v$ si ha:

{\frac {dx}{dt}}=v(x)

da cui:

t+C=\int {\frac {dx}{v(x)}}

che è la soluzione implicita.

Soluzioni periodiche

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Bendixson-Dulac.

Si consideri un sistema autonomo di due variabili con relativo problema di Cauchy:

{\begin{cases}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{cases}}

Per stabilire se il sistema abbia soluzioni periodiche vale il criterio di Bendixon, il quale afferma che se il sistema ammette una soluzione periodica allora la divergenza del campo vettoriale:

{\vec {F}}=\{f(x,y),g(x,y)\}

non ha segno costante (anche se può essere nulla).

Dimostrazione

La soluzione del sistema autonomo è una curva $C:x=\phi (t),y=\psi (t)$ . Applicando il teorema della divergenza:

\int _{C}{\vec {F}}\cdot {\vec {n}}ds=\iint _{\Sigma }div({\vec {F}})\ dx\ dy

dove ${\vec {n}}$ è il versore normale dato da:

{\vec {n}}={\frac {\{g,-f\}}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}

Quindi l'integrale diventa:

\int _{0}^{T}(fg-gf)dt=0

dove $[0,T]$ è il periodo della soluzione periodica. Questo significa che la divergenza assume:

\iint _{\Sigma }div({\vec {F}})\ dx\ dy=0

e quindi non può essere sempre positiva o sempre negativa, altrimenti non si potrebbe annullare.

Bibliografia

(EN) William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Volume Problems, 8th ed., John Wiley & Sons, 2005, p. 133, ISBN 0-471-43338-1.
(EN) Blanchard, Devaney, Hall, Differential Equations, Brooks/Cole Publishing Co, 2005, pp. 540–543, ISBN 0-495-01265-3.
(EN) S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
(EN) N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
(EN) N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)