グーデルマン関数 （グーデルマンかんすう、英語 : Gudermannian function 、ドイツ語 : Gudermannfunktion ）は、クリストフ・グーデルマン（英語版） （1798–1852）にちなんで命名された、複素数 を用いない三角関数 及び双曲線関数 と関係する関数である。
定義 グーデルマン関数とその漸近線 y = ±π /2 を青色で示した図 定義は以下のとおりである。
gd x = ∫ 0 x d t cosh t = arcsin ( tanh x ) = arctan ( sinh x ) = 2 arctan [ tanh ( 1 2 x ) ] = 2 arctan ( e x ) − 1 2 π . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan \left(\sinh x\right)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}} グーデルマン関数と関連する公式 の中には、定義として全く運用できないものがある。例えば、実数x について、 arccos sech x = | gd x | = arcsec ( cosh x ) {\displaystyle \arccos \operatorname {sech} x=\left\vert \operatorname {gd} x\right\vert =\operatorname {arcsec}(\cosh x)}
以下の恒等式 が成り立つ。
sin gd x ˙ = tanh x ; csc gd x = coth x ; cos gd x = sech x ; sec gd x = cosh x ; tan gd x = sinh x ; cot gd x = csch x ; . tan 1 2 gd x = tanh 1 2 x . {\displaystyle {\begin{aligned}{\color {white}{\dot {\color {black}\sin \operatorname {gd} x}}}&=\tanh x;\quad \csc \operatorname {gd} x=\coth x;\\\cos \operatorname {gd} x&=\operatorname {sech} x;\quad \,\sec \operatorname {gd} x=\cosh x;\\\tan \operatorname {gd} x&=\sinh x;\quad \,\cot \operatorname {gd} x=\operatorname {csch} \,x;\\{}_{\color {white}.}\tan {\tfrac {1}{2}}\operatorname {gd} \,x&=\tanh {\tfrac {1}{2}}x.\end{aligned}}} グーデルマン関数の逆関数 グーデルマン関数の逆関数 （逆グーデルマン関数又はランベルト関数と称する）は、区間 ( − π / 2 , π / 2 ) {\displaystyle \left(-\pi /2,\pi /2\right)} [1]
gd − 1 x = ∫ 0 x d t cos t = ln | 1 + sin x cos x | = 1 2 ln | 1 + sin x 1 − sin x | = ln | tan x + sec x | = ln | tan ( 1 4 π + 1 2 x ) | = artanh ( sin x ) = arsinh ( tan x ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}\,x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x).\end{aligned}}} 性質 グーデルマン関数とその逆関数の原点周りの級数展開は次のとおりである。 gd x = x − x 3 6 + x 5 24 − 61 x 7 5040 + ⋯ ; gd − 1 x = x + x 3 6 + x 5 24 + 61 x 7 5040 + ⋯ . {\displaystyle \operatorname {gd} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+\cdots ;\quad \operatorname {gd} ^{-1}x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}+{\frac {61x^{7}}{5040}}+\cdots .} グーデルマン関数とその逆関数の微分 は次のとおりである。 d d x gd x = sech x ; d d x gd − 1 x = sec x . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x;\quad {\frac {d}{dx}}\;\operatorname {gd} ^{-1}\,x=\sec x.} gd − 1 x = − 2 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n sin ( 2 n − 1 ) x 2 n − 1 . {\displaystyle \operatorname {gd} ^{-1}x=-2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\sin(2n-1)x}{2n-1}}.} 数式 π / 2 − gd x {\displaystyle \pi /2-\operatorname {gd} x} 双曲幾何学 において、平行角（英語版） 関数を定義する。 y = gd x {\displaystyle y=\operatorname {gd} x} y 軸および漸近線 で囲まれる領域（のうち有限領域であるほう）の面積 は、カタランの定数 G の4倍に等しい。すなわち、 ∫ − ∞ ∞ ( π 2 − sgn x gd x ) d x = 4 G . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn} x\operatorname {gd} x\right)dx=4G.} 歴史 この関数は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト によって1760年代に双曲線関数と同じ頃に紹介された。彼はそれを「超越角」（transcendent angle ）と呼び、アーサー・ケイリー が1862年 に、1830年代 のグーデルマンによる特殊関数 の理論の功績にちなんで「グーデルマン関数」と呼ぶことを提案するまで、様々な名称で呼ばれてきた[2] sinh とcosh （同書では S i n {\displaystyle {\mathfrak {Sin}}} C o s {\displaystyle {\mathfrak {Cos}}} 1833年 の著書"Theorie der potenzial- oder cyklisch-hyperbolischen functionen "に、クレレ誌 で発表した論文を収録した。
グーデルマン関数を表す記号gd は、Philosophical Magazine XXIV巻の19ページ[3] 正割関数の積分（英語版） の逆について、gd. u を用いたのが始まりである。ここで、
u = ∫ 0 ϕ sec t d t = ln tan ( 1 4 π + 1 2 ϕ ) {\displaystyle u=\int _{0}^{\phi }\sec t\,dt=\ln \tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}\phi \right)} であり、超越の定義を次のように示した。
gd u = i − 1 ln tan ( 1 4 π + 1 2 u i ) {\displaystyle \operatorname {gd} \,u=i^{-1}\ln \tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}ui\right)} よって、それはu の実関数 であることが即座に見いだされる。
応用 地球 を真球 と見立てたとき、メルカトル図法 による投影面上における、赤道 からの緯線 距離についてのグーデルマン関数の関数値は、子午線弧 長、すなわち実際の地球上の緯度 に相当する。ガウス・クリューゲル図法 による地図投影においては、座標換算の中間変数として用いられる正角緯度の導入時においてもグーデルマン関数が現れる[4]
また、グーデルマン関数は、倒立振子 の非周期解に現れる[5]
脚注 ^ グーデルマン関数自体の定義から、 y = gd − 1 x {\displaystyle y=\operatorname {gd} ^{-1}\,x} 微分方程式 y ′ = cosh y {\displaystyle y^{\prime }=\cosh y} ^ George F. Becker, C. E. Van Orstrand. Hyperbolic functions. Read Books, 1931. Page xlix. ^ Cayley, A. (1862). "On the transcendent gd. u". Philosophical Magazine (4th ser.) . 24 : 19–21. doi:10.1080/14786446208643307 (inactive 1 November 2014)。 ^ 河瀬和重 (2011): Gauss-Krüger投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の座標換算についてのより簡明な計算方法, 国土地理院時報, 121 , 109–124. ^ John S. Robertson, "Gudermann and the Simple Pendulum", The College Mathematics Journal 28 :4:271–276 (September 1997) at JSTOR 参考文献 CRC Handbook of Mathematical Sciences 5th ed. pp. 323–325. Weisstein, Eric W. "Gudermannian". mathworld.wolfram.com (英語). 坂元左馬太 (1934): グーデルマンの角と實双曲線函數及び指數函數の計算に就て, 土木学会誌, 20 (9), 1081–1086 関連項目 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cosh t}}\\&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan \left(\sinh x\right)\\&=2\arctan \left[\tanh \left({\frac {1}{2}}x\right)\right]=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {1}{2}}\pi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31f0d82b6e2f5475692ede4debfa65da3292cda8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}\,x&=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24949561ccff1978cd00dd88a7190b6bbfeb2b04)
