シュタイナー・レームスの定理

BD = CE ならば、ABC は二等辺三角形である。
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シュタイナー・レームスの定理 (英: Steiner–Lehmus theorem) は、幾何学の定理である。この定理は C. L. Lehmus（英語版） によって予想され、その後ヤコブ・シュタイナーによって証明された。

定理

等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。

証明

△ABCで、AB = c, BC = a, CA = b とする。

∠Cの二等分線をCE、∠Bの二等分線をBDとすると、角の二等分線の性質より、

B D 2 = a c − A D ⋅ C D {\displaystyle BD^{2}=ac-AD\cdot CD}
C E 2 = a b − A E ⋅ B E {\displaystyle CE^{2}=ab-AE\cdot BE}
A D = b c a + c {\displaystyle AD={\dfrac {bc}{a+c}}}
D C = a b a + c {\displaystyle DC={\dfrac {ab}{a+c}}}
A E = b c a + b {\displaystyle AE={\dfrac {bc}{a+b}}}
E B = a c a + b {\displaystyle EB={\dfrac {ac}{a+b}}}

以上より、BD = CEのとき、

a c − a b 2 c ( a + c ) 2 = a b − a b c 2 ( a + b ) 2 {\displaystyle ac-{\dfrac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}=ab-{\dfrac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}}

である。

つまり、

a c − a b 2 c ( a + c ) 2 = a b − a b c 2 ( a + b ) 2 b + b 2 c ( a + c ) 2 = c + b c 2 ( a + b ) 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b ) 2 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + c ) 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b + c − c ) 2 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + b + c − b ) 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b + c ) 2 − 2 b 2 c 2 ( a + b + c ) + b 2 c 3 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + b + c ) 2 − 2 b 2 c 2 ( a + b + c ) + b 3 c 2 b ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b 2 c ( a + b + c ) 2 − b 3 c 2 = c ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c 2 ( a + b + c ) 2 − b 2 c 3 b ( ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c ( a + b + c ) 2 − b 2 c 2 ) = c ( ( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c ( a + b + c ) 2 − b 2 c 2 ) b = c {\displaystyle {\begin{aligned}ac-{\frac {ab^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=ab-{\frac {abc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b+{\frac {b^{2}c}{(a+c)^{2}}}&=c+{\frac {bc^{2}}{(a+b)^{2}}}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+c)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c-c)^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c-b)^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{2}c^{3}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-2b^{2}c^{2}(a+b+c)+b^{3}c^{2}\\b(a+b)^{2}(a+c)^{2}+b^{2}c(a+b+c)^{2}-b^{3}c^{2}&=c(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc^{2}(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{3}\\b((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})&=c((a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2})\\b&=c\\\end{aligned}}}

但し、

( a + b ) 2 ( a + c ) 2 + b c ( a + b + c ) 2 − b 2 c 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) ) 2 − b 2 c 2 + b c ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) + b c ) ( ( a + b ) ( a + c ) − b c ) + b c ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) + b c ) ( a 2 + a ( b + c ) + b c − b c ) + b c ( a + b + c ) 2 = ( ( a + b ) ( a + c ) + b c ) ( a 2 + a ( b + c ) ) + b c ( a + b + c ) 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&(a+b)^{2}(a+c)^{2}+bc(a+b+c)^{2}-b^{2}c^{2}\\&=((a+b)(a+c))^{2}-b^{2}c^{2}+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)((a+b)(a+c)-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c)+bc-bc)+bc(a+b+c)^{2}\\&=((a+b)(a+c)+bc)(a^{2}+a(b+c))+bc(a+b+c)^{2}\\&\neq 0\end{aligned}}}

である。これは示されるべきことであった。

出典

  • 定理の概要-証明