リー代数の随伴表現

リー代数の随伴表現（リーだいすうのずいはんひょうげん、英: adjoint representation of a Lie algebra）とは、リー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の交換子を用いて定義されるリー代数から ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ への準同型写像のことをいう。

定義

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ をリー代数とする。${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ に対し ${\displaystyle ad_{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ を

${\displaystyle ad_{x}(y)=[x,y]}$

によって定める。このとき ${\displaystyle ad_{x}}$ は線型変換であり、リー代数からベクトル空間へ準同型

${\displaystyle ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}}),\quad x\mapsto ad_{x}}$

をリー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の随伴表現という。

性質

${\displaystyle x,y,z\in {\mathfrak {g}}}$ に対して、

${\displaystyle ad_{[x,y]}(z)=[ad_{x},ad_{y}](z)}$。

リー群の随伴表現との関係

リー群 ${\displaystyle G}$ の単位元における接空間 ${\displaystyle T_{e}G={\mathfrak {g}}}$ を ${\displaystyle G}$ に付随するリー代数という。 ${\displaystyle G}$ の随伴表現を ${\displaystyle Ad}$ とすると、

${\displaystyle d(Ad)_{e}=ad:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

が成り立つ。