この記事は「平方数」、「三角数」、「多角数定理」などの補遺に当たる。ここに示す事実は古くから知られている[1]ものであるが呼びかたが定まっていない。日本語では「三平方和定理」などと呼ばれることもあるが、ピタゴラスの定理とは全く別のものである。
自然数
が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、
により、
と表されることである。逆に、
で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきた[1]ことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。
証明
十分条件の証明は初等的に行うことは可能であるが、二次形式に関する議論を必要とし、複雑である[2]。必要条件の証明は次に記すとおり、容易である。
必要条件
が三個の平方数の和で表されないことは、
から明らかである。仮りに
![{\displaystyle N=4^{n}(8k+7)=x^{2}+y^{2}+z^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57caa474dfcf59853f44b9b21858ca0a37d0c949)
と表されるとすれば、
は全て偶数であるから
![{\displaystyle {\begin{aligned}&4^{n}(8k+7)=(2x')^{2}+(2y')^{2}+(2z')^{2}\\&4^{n-1}(8k+7)=x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1f6782870b9cde218b6bb70184be4bd845cfbc3)
となり、数学的帰納法により、
は三個の平方数の和で表されない。
系
三個の三角数の和
の形の自然数は高々三個の平方数の和で表されるから
![{\displaystyle 8N+3=(2x+1)^{2}+(2y+1)^{2}+(2z+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dfa8dabfd68e9d5e3a86aba98a9eb625b421391)
![{\displaystyle N={\frac {x(x+1)}{2}}+{\frac {y(y+1)}{2}}+{\frac {z(z+1)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee3d84ca2fb789a3797769a3eb71aeba7bb80db)
となる整数
が存在する。故に全ての自然数は高々三個の三角数の和で表される。
四個の平方数の和
全ての自然数は
として
で表される。その中で
のものは高々三個の平方数の和で表され、
のものは
として高々四個の平方数の和で表される。従って、全ての自然数は高々四個の平方数の和で表される。なお、四個の平方数の和については初等的な証明(→多角数定理)が知られている。
関連項目
出典
- ^ a b Wolfram MathWorld: Sum of Squares Function
- ^ 初等的な証明は例えば Melvyn B. Nathanson, Additive number theory : the classical bases, GTM 164, Springer-Verlag, New York, Tokyo, 1996. の第1章に掲載されている。