n=5 のときの三角錐数である35個の球。最初の5つの三角数に等しい個数の球を順番に段重ねしたものである。 三角錐数(さんかくすいすう、triangular pyramidal number)は球を右図のように三角錐の形にならべたとき、そこに含まれる球の総数にあたる自然数である。つまり三角数を1から小さい順に足した数のことである。四面体数(しめんたいすう、tetrahedral number)ともいう。
例: 1, 4 (=1+3), 10 (=1+3+6), 20 (=1+3+6+10), 35 (=1+3+6+10+15)
n 番目の三角錐数 Tn は1から n 番目の三角数 n(n + 1)/2 までの和に等しいので
![{\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k(k+1)}{2}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+{\frac {n(n+1)}{2}}\right)\\&={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4adafae671d5a13ca5d59e03eee2a9430f27026a)
また組み合わせの記号を用いると
となる。
三角錐数を小さい順に列記すると
- 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …(オンライン整数列大辞典の数列 A292)。
性質
- 三角錐数のうち平方数でもある数は 1, 4 と 19600 (=1402) の3つのみである。(オンライン整数列大辞典の数列 A003556)
- 三角錐数でなおかつ四角錐数でもある数は 1 のみである。
- 三角錐数の奇数番目は奇数の平方和、偶数番目は偶数の平方和で表される。(例.35=12+32+52、56=22+42+62)
- 奇数の時
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)^{2}={\frac {(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n+1)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a5b1cd69032759d429aa9b88a6129f913340e4)
- 偶数の時
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k)^{2}={\frac {2n(2n+1)(2n+2)}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01f4995e873a40f5a188f1f3c886f39e36f6704c)
- 三角錐数は奇数-偶数-偶数-偶数といった順番の繰り返しで現れる。
- (奇数…オンライン整数列大辞典の数列 A015219、偶数…オンライン整数列大辞典の数列 A015220)
パスカルの三角形 - モナド(単数)の数列 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,…,
,…
- 自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,…,
,…
- 三角数の数列 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45,…,
,…
- 三角錐数の数列 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165,…,
,…
となっている。左上(または右上)にある数列はその一つ右下(または左下)の数列の階差数列である。
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\frac {k(k+1)(k+2)}{6}}}&=6\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {2}{k+1}}+{\frac {1}{k+2}}\right)\\&=3{\bigg \{}\left({\frac {\color {Green}\not 1}{\color {Green}\not 1}}-{\frac {\color {Green}\not 2}{\color {Green}\not 2}}+{\frac {\not 1}{\not 3}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {\not 2}{\not 3}}+{\frac {\color {Red}\not 1}{\color {Red}\not 4}}\right)+\left({\frac {\not 1}{\not 3}}-{\frac {\color {Red}\not 2}{\color {Red}\not 4}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {\color {Red}\not 1}{\color {Red}\not 4}}-{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{6}}\right)+\cdots {\bigg \}}\\&={\frac {3}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc1163807341fa6c666226598afb340235cbaa9)
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Tetrahedral Number". mathworld.wolfram.com (英語).