Elips

Keratan rentas kon dapat membentuk elips
Elips dan sifat-sifat matematiknya

Dalam matematik, sebuah elips (Jawi: ‏ايليڤس‎code: ms is deprecated ‎) ialah rajah yang menyerupai bulatan yang telah dipanjangkan ke suatu arah. Elips adalah salah satu contoh daripada kepingan kon dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik, dalam satu bidang, yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus).

Elips banyak dijumpai dalam fizik, astronomi dan kejuruteraan.

Dalam satah Cartesian

Persamaan umum

Persamaan umum bagi elips yang berpusat pada titik tengah (0,0) ialah:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1,}

apabila 2a ialah lebar maksimum elips manakala 2b ialah panjang melintang terpanjang elips. Sekiranya y dijadikan tajuk rumus, persamaannya ialah:

y = ± b a a 2 − x 2 = ± ( a 2 − x 2 ) ( 1 − e 2 ) . {\displaystyle y=\pm {\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=\pm {\sqrt {\left(a^{2}-x^{2}\right)\left(1-e^{2}\right)}}.}

Persamaan umum bagi elips yang berpusat pada titik tengah (x,y) ialah:

( x − x o ) 2 a 2 + ( y − y o ) 2 b 2 = 1 , x − x o = y − y o = 0. {\displaystyle {(x-x_{o})^{2} \over a^{2}}+{(y-y_{o})^{2} \over b^{2}}=1,x-x_{o}=y-y_{o}=0.}

Parameter

Kemiringan

Kemiringan, e bagi sebuah elips boleh dikira dengan rumus berikut,

e = c a = 1 − ( b a ) 2 . {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}.}

Kemiringan pusat

Jarak antara titik fokus dan pusat elips, c ialah c = a 2 − b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} .

Ciri-ciri metrik

Rumus ciri-ciri metrik di bawah berdasarkan persamaan umum elips, x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1.}

Luas

Luas sebuah elips boleh dihitung dengan rumus A = π a b . {\displaystyle A=\pi ab.}

Ukurlilit

Ukurlilit sebuah elips ialah seperti rumus di bawah:

C = 4 a ∫ 0 π / 2 1 − e 2 sin 2 ⁡ θ   d θ . {\displaystyle C\,=\,4a\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\theta }}\ d\theta \,.}

Srinivasa Ramanujan pula menetapkan dua rumus untuk mencari anggaran jarak ukurlilit elips, yakni:[1]

C ≈ π [ 3 ( a + b ) − ( 3 a + b ) ( a + 3 b ) ] = π [ 3 ( a + b ) − 10 a b + 3 ( a 2 + b 2 ) ] {\displaystyle C\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)}}\right]=\pi \left[3(a+b)-{\sqrt {10ab+3\left(a^{2}+b^{2}\right)}}\right]}

dan

C ≈ π ( a + b ) ( 1 + 3 h 10 + 4 − 3 h ) {\displaystyle C\approx \pi \left(a+b\right)\left(1+{\frac {3h}{10+{\sqrt {4-3h}}}}\right)} , dengan h = ( a − b ) 2 ( a + b ) 2 . {\displaystyle h={(a-b)^{2} \over (a+b)^{2}}.}

Lihat juga

  • Elipsoid

Rujukan

  1. ^ Ramanujan, Srinivasa (1914). "Modular Equations and Approximations to π". Quart. J. Pure App. Math. 45: 350–372. ISBN 9780821820766.

Pautan luar

  • Kategori berkenaan Elips di Wikimedia Commons
  • l
  • b
  • s