Kalkulus vektor

Kalkulus Vektor (atau analisis vektor) ialah satu cabang dalam matematik yang mengkaji pembezaan dan kamiran medan vektor, terutamanya dalam 3 dimensi ruang Euclid. ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$. Istilah "kalkulus vektor" kadang-kadang digunakan sinonim dengan subjek yang lebih luas untuk kalkulus multipemboleh ubah, yang termasuk dalamnya juga kalkulus vektor sebagai terbitan separa dan kamiran berganda. Kalkulus vektor memainkan peranan penting dalam geometri kebezaan dan pengkajian persamaan pembezaan separa. Ia digunakan dengan meluas dalam fizik dan kejuruteraan, terutamanya dalam menerangkan medan elektromagnet, medan graviti dan dinamik bendalir. Kalkulus vektor telah dibangunkan dari analisis kuaternion oleh J. Willard Gibbs dan Oliver Heaviside di penghujung kurun ke-19, dan kebanyakan tatatanda dan terminologinya telah dimantapkan oleh Gibbs dan Edwin Bidwell Wilson dalam buku terbitan tahun 1901 mereka, Analisis Vektor.

Objek asas

Objek asas dalam kalkulus vektor ialah medan skalar (fungsi yang dinilai oleh skalar) dan medan vektor (fungsi yang dinilai oleh vektor). Keduanya kemudian akan digabung dan ditukar dalam pelbagai operasi, dan akhirnya disepadukan. Dalam peringkat pengolahan lebih tinggi, ia menggunakan medan pseudovektor dan pseudoskalar, yang serupa dengan medan vektor dan skalar kecuali ia bertukar tanda dalam peta yang terbalik orientasinya. Contohnya, ikal dalam medan vektor ialah satu medan pseudovektor, dan jika sesuatu memberi refleksi kepada medan vektor, ikal tersebut akan mengarah ke arah yang berlawanan. Hal ini dijelas dan dihuraikan dalam algebra geometri seperti berikut.

Operasi algebra yang asas (bukan pembezaan) dalam kalkulus vektor adalah dikenali sebagai algebra vektor, ia ditentukan untuk ruang vektor dan diaplikasikan dengan meluas pada medan vektor, dan terdiri daripada:

pendaraban skalar

pendaraban medan skalar dan medan vektor, menghasilkan medan vektor: ${\displaystyle av}$;

penambahan vektor

penambahan dua medan vektor, menghasilkan medan vektor: ${\displaystyle v+w}$;

hasil darab bintik

pendaraban dua medan vektor, menghasilkan medan skalar: ${\displaystyle v\cdot w}$;

hasil darab silang

pendaraban dua medan vektor, menghasilkan medan vektor: ${\displaystyle v\times w}$.

Operasi vektor

Kalkulus vektor mengkaji pelbagai pengoperasi pembezaan yang ditentukan pada medan skalar dan vektor, yang biasanya diungkap dalam istilah pengoperasi del (${\displaystyle \nabla }$). Empat operasi paling penting dalam kalkulus vektor ialah:

Operasi	Tatatanda	Penerangan	Domain/Julat
Kecerunan	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	Menentukan kadar dan arah perubahan dalam medan skalar.	Memetakan medan skalar kepada medan vektor.
Ikal	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	Menentukan kecenderungan memutar satu titik dalam medan vektor.	Memetakan medan vektor kepada medan (pseudo)vektor.
Kecapahan	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	Menentukan magnitud satu sumber atau sink pada titik diberi dalam medan vektor.	Memetakan medan vektor kepada medan skalar.
Laplacean	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	Satu komposisi operasi kecerunan dan kecapahan.	Memetakan medan skalar kepada medan skalar.

Teorem

Terdapat beberapa teorem penting yang berkaitan dengan pengoperasi-pengoperasi ini yang mengitlak teorem asas kalkulus kepada dimensi yang lebih tinggi:

Teorem	Pernyataan	Penerangan
Teorem kecerunan	${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{L\,|\,\mathbf {p} \,\to \,\mathbf {q} }\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} }$	Kamiran garis melalui satu medan (vektor) kecerunan adalah bersamaan dengan perbezaan dalam medan skalarnya pada titik hujung lengkung L.
Teorem Green	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\in \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA=\oint _{\partial \Sigma }\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	Kamiran ikal skalar medan vektor pada beberapa kawasan pada satah adalah bersamaan dengan kamiran garis medan vektor pada lengkung tertutup yang melingkari kawasan tersebut.
Teorem Stokes	${\displaystyle \iint _{\Sigma \,\in \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	Kamiran ikal medan vektor pada permukaan dalam ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ adalah bersamaan dengan kamiran garis medan vektor pada lengkung tertutup yang melingkari permukaan tersebut.
Teorem kecapahan	${\displaystyle \iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint _{\partial V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset \mathbf {F} \;\cdot {d}\mathbf {S} }$	Kamiran kecapahan medan vektor pada beberapa pepejal adalah bersamaan dengan kamiran fluks melalui permukaan tertutup yang melingkari pepejal.

Rujukan

• Michael J. Crowe (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System. Dover Publications; Reprint edition. ISBN 0-486-67910-1.
• H. M. Schey (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-92516-1.
• J.E. Marsden (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 0-7167-0462-5.

• Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

Pautan luar

• Satu tinjauan tentang penggunaan tidak tepat ∇ dalam analisis vektor (1994) Tai, Chen
• Mengembangkan analisis vektor kepada sistem koordinat serong
• Vector Analysis: Buku teks untuk kegunaan pelajar Matematik dan Fizik, (berdasarkan syarahan Willard Gibbs) oleh Edwin Bidwell Wilson, diterbitkan pada 1902.
• Penggunaan beberapa perkataan Matematik terawal yang diketahui: Analisis Vektor